矩阵理论| 基础：矩阵范数

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矩阵范数

类似向量范数，矩阵范数需要满足以下条件：
$\Vert A\Vert \ge 0$，$\Vert A\Vert =0$当且仅当$A=0$
$\Vert cA\Vert =|c|\cdot \Vert A\Vert$
$\Vert A+B\Vert \le \Vert A\Vert +\Vert B\Vert$

范数等价的概念：

• 范数$\Vert \cdot {\Vert }_a$和范数$\Vert \cdot {\Vert }_b$等价$⟺$存在$0<m<M$使$m\Vert A{\Vert }_a<\Vert A{\Vert }_b<M\Vert A{\Vert }_a$
• 和向量范数一样，空间中任意两个矩阵范数均等价

另外，我们一般讨论的都是相容（自相容）的矩阵范数：

• 自相容的范数，满足$\Vert AB\Vert \le \Vert A\Vert \cdot \Vert B\Vert$
• 矩阵的$m_1$、$m_2$范数是自相容的，$m_{\infty }$范数不相容

例如，$AB=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}2& 2\\ 2& 2\end{array}\right]$，但$\Vert AB{\Vert }_{m_{\infty }}=2>1=\Vert A{\Vert }_{m_{\infty }}\cdot \Vert B{\Vert }_{m_{\infty }}$

m范数

从向量Lp范数推广，（将矩阵视为向量），可以直接得到矩阵范数 / m范数：

• $m_1$范数：${\Vert \mathbf{A}\Vert }_{m_1}={\sum }_i{\sum }_j|a_{ij}|$
• $m_2$范数/ Frobenius范数，：${\Vert \mathbf{A}\Vert }_{m_2}=\sqrt{{\sum }_i{\sum }_j|a_{ij}{|}^2}$
  等价计算式1：$\Vert \mathbf{A}{\Vert }_F=\sqrt{\mathrm{trace}(A^{H}A)}$
  等价计算式2：${\Vert \mathbf{A}\Vert }_F=\sqrt{{\sigma }_1^2+\cdots +{\sigma }_r^2}=\sqrt{{\sum }_{i=1}^r{\sigma }_i^2}$

关于${\Vert \mathbf{A}\Vert }_F=\sqrt{{\sum }_{i=1}^r{\sigma }_i^2}$的理解：

• 理解①：$\mathbf{A}=\mathbf{U}\mathbf{\Sigma }{\mathbf{V}}^T$，而酉矩阵不改变Frobenius范数，故${\Vert \mathbf{A}\Vert }_F={\Vert \mathbf{\Sigma }\Vert }_F$，而$\mathbf{\Sigma }$的m2范数正是$\sqrt{{\sigma }_1^2+\cdots +{\sigma }_r^2}$
• 理解②：由$\Vert A{\Vert }_F=\sqrt{\mathrm{trace}(A^{H}A)}$可推出，因为$\mathrm{trace}(A^{H}A)={\lambda }_1+\dots +{\lambda }_n={\sigma }_1^2+\cdots +{\sigma }_r^2$（其中$\lambda$为$A^{H}A$的特征值， σ 1 ≥ ⋯ ≥ σ r > 0 = σ r + 1 = ⋯ = σ m i n { m , n } \sigma_1\ge\cdots\ge \sigma_r>0=\sigma_{r+1}=\cdots=\sigma_{min\{m,n\}} σ1​≥⋯≥σr​>0=σr+1​=⋯=σmin{
  m,n}​为$A$的奇异值）

• $m_{\infty }$范数： ∥ A ∥ m ∞ = max ⁡ { ∣ a i j ∣ } {\left\| \bold A \right\|_{m_\infty} } = \max \{\left| {a_{ij}} \right|\} ∥A∥m∞​​=max{
  ∣aij​∣}

算子范数（诱导范数）

从向量范数出发，也可以矩阵的算子范数（operator norm），准确的说应该是 [从属于向量范数$\Vert \cdot {\Vert }_a$的算子范数]：$${\Vert \mathbf{A}\Vert }_a=\max \frac{{\Vert \mathbf{A}\mathbf{x}\Vert }_a}{{\Vert \mathbf{x}\Vert }_a}=\underset{{\Vert \mathbf{x}\Vert }_a=1}{\max }{\Vert \mathbf{A}\mathbf{x}\Vert }_a$$

理解：根据定义，算子范数就是将矩阵$\mathbf{A}$视为一个线性变换，它作用于向量后使得向量伸缩变形，只要在所有向量中找出最大的“伸缩量”（大小的度量准则是某种向量范数），就得到了算子范数

另一方面，可以从“相容”的角度来理解算子范数：

一开始说过，自相容的矩阵范数满足$\Vert AB\Vert \le \Vert A\Vert \cdot \Vert B\Vert$，
也可以推广，定义 [与向量范数$\Vert \cdot {\Vert }_a$相容的矩阵范数]，它满足$\Vert A\mathbf{x}{\Vert }_a\le \Vert A\Vert \cdot \Vert \mathbf{x}{\Vert }_a$
当$\mathbf{x}\ne 0$，则有$\Vert A\Vert \ge \frac{\Vert A\mathbf{x}\Vert }{\Vert \mathbf{x}\Vert }$

据此，我们定义 [从属于向量范数$\Vert \cdot {\Vert }_a$的算子范数]：$$\Vert A{\Vert }_a=\underset{\mathbf{x}\ne 0}{\max }\frac{\Vert A\mathbf{x}{\Vert }_a}{\Vert \mathbf{x}{\Vert }_a}$$

• 实际上，给定一个向量范数$\Vert \cdot {\Vert }_a$，必然存在与该向量范数向量范数$\Vert \cdot {\Vert }_a$相容的矩阵范数；
• 并且，在所有与$\Vert \cdot {\Vert }_a$相容的矩阵范数中，算子范数是其中最小的一个（从上式可以直接看出）
• 另外，算子范数必然是自相容的矩阵范数（满足$\Vert AB{\Vert }_a\le \Vert A{\Vert }_a\Vert B{\Vert }_a$）

上面相当于用向量范数定义了矩阵范数
反过来同样的，可以从“相容”的角度出发，用矩阵范数定义向量范数：
给定一个自相容的矩阵范数$\Vert \cdot {\Vert }_m$，一定存在与之相容的向量范数$\Vert \cdot \Vert$（使得$\Vert Ax\Vert \le \Vert A{\Vert }_m\Vert x\Vert$）

最常用的算子范数

• 谱范数 /算子2范数（从属于向量范数${\Vert \mathbf{x}\Vert }_2$的算子范数）：${\Vert \mathbf{A}\Vert }_2=\sqrt{r({\mathbf{A}}^H\mathbf{A})}={\sigma }_1$
  其中，$r(\mathbf{A})$为矩阵$\mathbf{A}$的谱半径，而${\sigma }_1$为矩阵$\mathbf{A}$最大的奇异值

理解：向量${\ell }^2$范数就是向量的几何长度，求算子范数就是找向量的最大伸缩量
从这个意义理解，显然单位阵$I$的算子2范数为1；
正交矩阵/酉矩阵的 算子2范数为1；
对角矩阵的 算子2范数为 最大对角元
…
对于单纯矩阵，算子2范数就是最大特征值${\lambda }_1$；

然而，更一般的情况下，根据EVD/SVD的几何意义，特征向量是变换后仅受缩放的向量（左图），奇异向量才是变换中拉伸效果最大的向量（右图）
也就是说，$\Vert A{\Vert }_2^2=\underset{\Vert \mathbf{x}\Vert =1}{\max }{\mathbf{x}}^H{A}^{H}A\mathbf{x}={\lambda }_{\max }(A^{H}A)$，证明见 奇异值分解的几何意义
因此，最大奇异值${\sigma }_1$ 给出了算子2范数，对应的受到最大程度拉伸的向量是右奇异向量（$\mathbf{A}{\mathbf{v}}_1={\sigma }_1{\mathbf{u}}_1$）
故此最优化问题的解是${\Vert \mathbf{A}\Vert }_a=\max \frac{{\Vert \mathbf{A}\mathbf{x}\Vert }_a}{{\Vert \mathbf{x}\Vert }_a}=\frac{\Vert \mathbf{A}{\mathbf{v}}_1\Vert }{\Vert {\mathbf{v}}_1\Vert }=\frac{\Vert {\sigma }_1{\mathbf{u}}_1\Vert }{\Vert {\mathbf{v}}_1\Vert }={\sigma }_1$

推论：根据范数的性质$\Vert \mathbf{v}+\mathbf{w}\Vert \le \Vert \mathbf{v}\Vert +\Vert \mathbf{w}\Vert$，由算子2范数有，$\mathbf{A}+\mathbf{B}$的最大奇异值$\le$$\mathbf{A}$的最大奇异值+$\mathbf{B}$的最大奇异值

• 算子1范数 /列和范数：$\Vert A{\Vert }_1=\underset{\Vert \mathbf{x}{\Vert }_1=1}{\max }\Vert A\mathbf{x}{\Vert }_1=\underset{1\le j\le n}{\max }\sum _{i=1}^n|a_{ij}|$
• 算子$\infty$范数 /行和范数：$\Vert A{\Vert }_{\infty }=\underset{\Vert \mathbf{x}{\Vert }_{\infty }=1}{\max }\Vert A\mathbf{x}{\Vert }_{\infty }=\underset{1\le i\le n}{\max }\sum _{j=1}^n|a_{ij}|$

核范数

核范数/ 迹范数：${\Vert \mathbf{A}\Vert }_{Nuclear}={\sigma }_1+\cdots +{\sigma }_r$

酉不变范数：与奇异值有关的范数

酉不变范数是指，矩阵$A$与酉矩阵$U$、$V$相乘后，该矩阵的范数不变，即：$\Vert UAV\Vert =\Vert A\Vert$
显然，计算酉不变范数时，可以应用SVD：$\Vert A\Vert =\Vert U\Sigma V^H\Vert =\Vert \Sigma \Vert$，因此，酉不变范数必然可以写作奇异值的函数

在上面介绍的范数中，
F范数$\Vert \cdot {\Vert }_{m2}$ 和 谱范数$\Vert \cdot {\Vert }_2$是酉不变范数；
算子范数$\Vert \cdot {\Vert }_1$ 和 $\Vert \cdot {\Vert }_{\infty }$不是酉不变范数

上面的F范数、算子2范数、核范数都是酉不变范数，进而都与奇异值有关；若将矩阵视为广义的向量，那么

• 矩阵的核范数相当于向量的L1范数，${\Vert \mathbf{A}\Vert }_{Nuclear}={\sigma }_1+\cdots +{\sigma }_r$
• 矩阵的F范数类似向量的${\ell }^2$范数，${\Vert \mathbf{A}\Vert }_F=\sqrt{{\sigma }_1^2+\cdots +{\sigma }_r^2}$
• 矩阵的算子2范数像向量的${\ell }^{\infty }$范数，${\Vert \mathbf{A}\Vert }_2=\sqrt{r({\mathbf{A}}^H\mathbf{A})}={\sigma }_1$

reference：
MIT 18.065—机器学习中的矩阵方法08 向量和矩阵的范数
赋范向量空间
向量范数
矩阵范数