0703齐次方程-微分方程

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1 定义和解法

1.1 定义

形式上可化为$\frac{dy}{dx}=g(\frac{y}{x})$的方程，称为齐次方程。

例如$\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}+\tan \frac{y}{x},\frac{dy}{dx}=e^{\frac{y}{x}}$

1.2 微分方程中的变量替换

1.3 齐次方程的解法

$$\begin{gathered} 解：齐次方程一般式,\frac{dy}{dx}=g(\frac{y}{x}) \\ 1）做变换 \\ 令u=\frac{y}{x},y=ux,u是关于x的函数，则 \\ \frac{dy}{dx}=u+x\frac{du}{dx},带入一般式，得 \\ u+x\frac{du}{dx}=g(u),分类变量 \\ \frac{du}{g(u)-u}=\frac{dx}{x} \\ 2)求解方程的通解 \\ 两端积分,\int \frac{du}{g(u)-u}=\int \frac{dx}{x} \\ 得通解\varphi (x,u,c)=0 \\ 3)会带 \\ 把u=\frac{y}{x}带回通解，得原方程的通解 \\ \varphi (x,u(x,y),c)=0 \end{gathered}$$

注：

• 提现两个变换
  • 换元式：$u=\frac{y}{x}$
  • 微分式：$\frac{dy}{dx}=u+x\frac{du}{dx}$
• 其他情况：$\frac{dx}{dy}=g(\frac{x}{y}),令u=u=\frac{x}{y},y$看做自变量

2 例题

例1 求解$\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}+1$
$$\begin{gathered} 解：齐次方程，令u=u=\frac{y}{x},则 \\ \frac{dy}{dx}=u+x\frac{du}{dx}=u+1,即 \\ du=\frac{dx}{x},两端积分 \\ \int du=\int \frac{dx}{x}，得u=\ln |x|+C \\ u=\frac{y}{x},带回得原方程通解为：y=x\ln |x|+Cx,C\in R \end{gathered}$$
例2 求解$\frac{dy}{dx}=\frac{x+y}{x-y}$
$$\begin{gathered} 解：变形得,\frac{dy}{dx}=\frac{1+\frac{y}{x}}{1-\frac{y}{x}},齐次方程 \\ 令u=\frac{y}{x},得\frac{dy}{dx}=\frac{1+u}{1-u}=u+x\frac{du}{dx} \\ 化简，\frac{1-u}{1+u^2}du=\frac{1}{x}dx \\ 两端积分,\int \frac{1-u}{1+u^2}du=\int \frac{1}{x}dx \\ 求解得，\arctan u+\frac{1}{2}\ln (1+u^2)=\ln |x|+C \\ u=\frac{y}{x}带回得原方程的通解,\arctan \frac{y}{x}=\frac{1}{2}\ln (x^2+y^2)+C,C\in R \end{gathered}$$
例3 求$xydx-(x^2+y^2)dy=0$满足条件$y(1)=1$特解。
$$\begin{gathered} 解：原式变形，\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{y}{x}}{1+(\frac{y}{x}{)}^2},齐次方程 \\ 令u=\frac{y}{x},\frac{dy}{dx}=u+x\frac{du}{dx}=\frac{u}{1+u^2} \\ 化简，(-\frac{1}{u^3}-\ln |u|)du=\frac{1}{x}dx \\ 两端积分,\int (-\frac{1}{u^3}-\frac{1}{u})du=\frac{1}{x}dx \\ 求解，\frac{1}{2u^2}-\ln |u|=\ln |x|+C_1,C_1\in R \\ u=\frac{y}{x}带回得原方程的通解，x^2=2y^2\ln |y|+C{y}^2,C\in R \\ 带入初始条件y{|}_{x=1}=1,得C=1 \\ 即原方程的特解为，x^2=2y^2\ln |y|+y^2 \end{gathered}$$

• 上式第二种解法以y为自变量，有兴趣自己试一下，更简单写。

例4 探照灯聚光镜的镜面是一张旋转曲面，它的形状又xoy坐标面上的一条曲线L绕x轴旋转而成。按聚光镜性能的要求，在其旋转轴（x轴）上一点O处发出的一切光线，经它反射后都与旋转轴平行。求曲线L的方程，如下图2.4-1所示：

$$\begin{gathered} 解：以光源为O点，旋转轴为x轴建立坐标系。设曲线y=f(x),M(x,y)为曲线上任意一点,y\ge 0 \\ 因为MS//x轴，\angle AMO为入射角，\angle SMT为反射角，根据光学反射定律有 \\ \angle \alpha =\angle AMO=\angle SMT,即OA=OM \\ OM=\sqrt{x^2+y^2}=OA=AP-OP=y\cot \alpha -x=\frac{y}{y^{{}^{\prime }}}=x \\ 化简,\frac{dx}{dy}=\sqrt{(\frac{x}{y}{)}^2+1}+\frac{x}{y},齐次方程 \\ 令u=\frac{x}{y},\frac{dx}{dy}=u+y\frac{du}{dy}=\sqrt{u^2+1}+u \\ 化简\frac{du}{\sqrt{u^2+1}}=\frac{1}{y}dy \\ 积分得,\ln (u+\sqrt{u^2+1})=\ln \frac{y}{C} \\ 化简，\frac{y^2}{C^2}-\frac{2yu}{C}=1 \\ u=\frac{x}{y}带回，得y^2=2C(x+\frac{C}{2}),C\in R \end{gathered}$$

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$$

结语

❓:

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参考：

[1]同济大学数学系.高等数学 第七版 上册[M].北京:高等教育出版社,2014.7.p308-314.

[2]同济七版《高等数学》全程教学视频[CP/OL].2020-04-16.p44.