sec(x)多次积分

sec(x)多次积分上一章我们讨论过了那 sec x 的高次怎么求积分呢 比如求 sec 奇次方积分

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上一章我们讨论过了

 sec(x)的单次,以及双次的积分过程

(不清楚的,移步上一章)

\int sec(x)dx=ln |sec(x)+tan(x)|+C

\int sec(x)^{2} dx=tan(x)+C

那sec(x)的高次怎么求积分呢?

比如求\int sec(x)^{4}dx

我们首先来回忆下一些信息

{tan(x)}'=sec(x)^{2}

{sec(x)}'=sec(x)*tan(x)

{(ab)}'=a{(b)}'+{(a)}'b

\int{(ab)}'dx=\int a{(b)}'dx+\int b{(a)}'dx

ab=\int a{(b)}'dx+\int b{(a)}'dx

\int a{(b)}'dx=ab-\int b{(a)}'dx

主要是回忆一下tan(x)跟sec(x)之间的关系

以及分部积分法的计算

 好了,言归正传,我们继续求\int sec(x)^{4}dx

 \int sec(x)^{4}dx=\int sec(x)^{2}sec(x)^{2}dx=\int a *{(b)}'dx

其中

a=sec(x)^{2}

{b}'=sec(x)^{2}dx

\int sec(x)^{2}sec(x)^{2}dx=sec(x)^{2}tan(x)-\int tan(x){(sec(x)^{2})}'dx

=sec(x)^{2}tan(x)-\int tan(x)*2*sec(x)^{2-1}*tan(x)*sec(x)dx

=sec(x)^{2}tan(x)-2* \int tan(x)^{2}*sec(x)^{2}dx

对tan(x)进行换元

=sec(x)^{2}tan(x)-2* \int g^{2}dg=sec(x)^{2}tan(x)-2* \frac{1}{3}*t^{3}
=sec(x)^{2}tan(x)-\frac{2}{3}*tan(x)^{3}

主要目的,就是将sec(x)的次数降下来,每次进行分部积分,都可以降低2次的sec(x)。

这是sec(x)偶数次的算法,那sec(x)基数次又该如何解答呢?

比如计算,\int sec(x)^{5}dx

一开始没有什么区别

\int sec(x)^{5}dx=\int sec(x)^{3}*sec(x)^{2}dx=sec(x)^{3}tan(x)- \int tan(x)*3*sec(x)^{2}*tan(x)*sec(x)dx=sec(x)^{3}tan(x)- 3 \int tan(x)^{2}sec(x)^{3}dx

\int sec(x)^{5}dx=sec(x)^{3}tan(x)- 3 \int tan(x)^{2}sec(x)^{3}dx

=sec(x)^{3}tan(x)-3 \int (sec(x)^{2}-1)sec(x)^{3}dx

=sec(x)^{3}tan(x)-3 \int [sec(x)^{5}-sec(x)^{3}]dx

=sec(x)^{3}tan(x)-3\int sec(x)^{5}dx+3\int sec(x)^{3}dx

4 \int sec(x)^{5}dx=sec(x)^{3}tan(x)+3\int sec(x)^{3}dx

\int sec(x)^{5}dx=\frac{sec(x)^{3}tan(x)}{4}+\frac{3\int sec(x)^{3}dx}{4}

我们就从求\int sec(x)^{5}dx变成了求\int sec(x)^{3}dx

继续

\int sec(x)^{3}dx=sec(x)tan(x)-\int tan(x)^{2}sec(x)dx

=sec(x)tan(x)-\int (sec(x)^{2}-1)sec(x)dx

\int sec(x)^{3}dx=sec(x)tan(x)-\int sec(x)^{3}dx+\int sec(x)dx

2\int sec(x)^{3}dx=sec(x)tan(x)+\int sec(x)dx

\int sec(x)^{3}dx=\frac{sec(x)tan(x)}{2}+\frac{\int sec(x)dx}{2}

\int sec(x)dx=ln |sec(x)+tan(x)|+C

所以一步一步往回推即可

核心思路,就是用分部积分法,将sec(x)的次数降下来。

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