异方差的检验思想

异方差的检验思想本文介绍了异方差概念 探讨了 BP 检验 适用于样本量小 解释变量多 和 White 检验 适用于样本量大 解释变量少 两种检验方法

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异方差概念:

         随机扰动项的条件方差不是常数(即协方差矩阵的主对角元素不全相同)

                数学表达形式为:Var(\mu_i|x)=E(\mu_i^{2}|x)=\sigma_i\neq\sigma^{2}\uad i=1,2,...,n

(注:不是常数即意味着随机扰动项的方差会随着i的变化而变化)

检验方法:

一、bp检验(适用样本容量不大,解释变量较多时)

基本思想:由于条件同方差原假设为Var(\epsilon_i|x)=\sigma^{2},即随机扰动项的条件方差不随着i的变化而变化,当原假设不成立时,则条件方差E(\epsilon_i^{2}|x)则是xi的函数(这里没写\mu是因为\mu表示总体残差,实际回归得到的是样本残差所以这用\epsilon表示),因此可以通过建立随机扰动项与解释变量的辅助回归方程如e^{2}_i=\xi_1+\xi_2x_{12}+\xi_3{x_{13}}+...+\xi_nx_{1n}+\gamma(扰动项不可测所以用e^{2}_i代替),因此根据构建的辅助回归方程,其原假设可简化为\xi_1=\xi_2=\xi_3=....=\xi_n=0,如果辅助回归的拟合优度R^{2}越高,则辅助回归方程越显著,越应该拒绝原假设H_o:\xi_1=\xi_2=\xi_3=....=\xi_n=0 

注:如果认为异方差主要依赖于拟合值\hat{y_i},可以将辅助回归方程改为\epsilon^{2}_i=\xi_1+\xi_2\hat{y_i}+\gamma,然后检验\xi_2=0(使用F或LM统计量检验)

LM统计量检验补:

       由于大样本中,nR^{2}与检验整个方程的显著性的F统计量渐进等价,因此可以使用LM统计量进行LM检验,其中LM=nR^{2}会依分布收敛于X^{2}(k-1)(其中R^{2}为上述bp检验所构造出的方程得到的R^{2}、k为解释变量的个数) 若计算出的LM值大于临界值,则应拒绝同方差的原假设

二、white检验(适用于样本容量较大、解释变量较少)

基本思想:由于bp检验假设条件方差函数为线性函数,可能忽略了高次项,因此white检验在bp检验的辅助回归方程中加入了所有的二次项(含平方项与交互项),例如若模型中有两个解释变量(x_1,x_2),则二次项就包括x_1^{2},x_2^{2},x_1x_2,因此其构建的辅助回归方程为e^{2}_i=\xi_1+\xi_2x_{i1}+\xi_3{x_{i2}}+\xi_4x_{i1}x_{i2}+\xi_5x_{i1}^{2}+\xi_6x_{i2}^{2},原假设和bp一样,即假设所有的系数全为0,然后进行F检验或LM检验

评价:该方法可检验任何形式的异方差,因此根据泰勒展开式,二次函数可以很好的逼近任何光滑的函数,但其缺点是,如果解释变量个数较多时,则解释变量的二次项会更多(包括交互项),在辅助回归中会损失较多的样本容量

来源:陈强老师的计量经济学及stata应用

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