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基本概念
无穷级数指的是一个序列
的求和式：
我们先定义级数的部分和：
（序列的前
项和，注意部分和也是一个序列）
那么该级数的值等于：
倘若该极限存在，我们称级数为收敛的，并且将该极限称为级数的和；若该极限不存在，我们称级数为发散的，发散级数无值可言。
基本定理
级数收敛必要条件：序列通项趋于零，
（非充分条件）
级数收敛充要条件：
（粗糙理解就是，只要
充分大，你后面取任意
项，这
项的和的绝对值都能充分小
。乍一看这个条件貌似过于严格，其实可以这么想，一个收敛级数本身是有一个确定值的，而这个确定值是这个序列所有项的求和，你
取得足够大，前面的
部分和就越大，后面“剩下的”项的和等于级数的值减去该部分和，显然就越小了。）
实际应用的时候，上面两个定理更多的是用来证明级数是发散的，第一个不必多说，只给了必要条件，压根没办法证明级数是收敛的，但只要一个级数通项不趋于零，那它一定发散。而第二个虽然是充要条件，但如果想从正面推导出级数是收敛的，需要证明只要
够大
任意
项
都能充分小，这个任意是几乎不可能证明的。但是要证明级数发散的话，只需要证明
存在一个
可以使得这
项的和总是恒大于或恒等于某个数
即可。
基本性质
若级数
与
收敛于
，则
若级数
收敛于
，则
若两级数
，存在一个
，使得
则它们同敛散。
（在级数前面添加上有限项或删除掉有限项，所成的新级数与原级数同敛散。）
无穷和的结合律：将收敛级数的项任意加括号后所成的新级数，仍然收敛到原级数的和。
（收敛级数有确定值，打乱顺序再求和当然不变。但发散级数则不一定，如
）
正项级数
正项级数指每一项都不小于零的级数：
正项级数收敛的充要条件：部分和序列
有上界。（部分和序列单调递增）
比较判别法：
小于收敛级数的级数收敛，大于发散级数的级数发散。
（注意到级数敛散性与开头有限项无关，故上面的比较的是
的项的大小）
比较判别法的极限形式：
设两个正项级数
与
，且有
那么有：
，若
收敛，则
收敛；
，若
发散，则
发散；
，两级数同敛散。
比较判别法需要一个已知敛散性的级数来进行比较，下面给出不需要考虑其他级数的判别法。
达朗贝尔判别法：
若正项级数
满足
有：
，级数收敛；
，级数发散；
，级数敛散性不定：可能收敛，也可能发散。
柯西判别法：
若正项级数
满足
有：
，级数收敛；
，级数发散；
，级数可能收敛也可能发散。
这两种判别法适用于判断满足
的级数。
下面再介绍一种将所讨论的级数与
-级数作比较而得到的判别法。
*拉阿伯判别法：
若正项级数
满足
有：
，级数收敛；
，级数发散；
，级数可能收敛也可能发散。
正项级数与无穷积分的敛散等价性
无穷积分
若极限存在，则称函数在该区间上的无穷积分收敛，并将上述极限值定义为无穷积分的值；
若极限不存在，则称无穷积分发散。
无穷积分与正项级数间的敛散等价：
设
为正项级数，若存在一个单调下降的非负函数
，使
则级数
收敛的充要条件为无穷积分
收敛。
一些常见的敛散级数：
-
，当
时发散，当
时收敛。
-
，当
时发散，当
时收敛。（敛散判断时经常以
进行比较）
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