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整除的特征及解释
整除的含义
简单地说,当一个非零整数除另一个整数得到整数商而没有余数时,叫做整除。如6÷2=3,就说2整除6或6能被2整除。
用数学语言描述:若整数b除以非零整数a,商为整数,且余数为零,b为被除数,a为除数,也就是b÷a=n……0 (a、b、n是整数 ,且a≠0),读作“a整除b”或“b能被a整除”,记作a|b,其中“|”是整除符号。a叫做b的约数(或因数),b叫做a的倍数。
整除属于除尽的一种特殊情况。
整除与除尽既有区别又有联系。除尽是指数b除以数a(a≠0)所得的商是整数或有限小数而余数是零时,b能被a除尽(或说a能除尽b)。因此整除与除尽的区别是,整除只有当被除数、除数以及商都是整数,而余数是零。除尽并不局限于整数范围内,被除数、除数以及商可以是整数,也可以是有限小数,只要余数是零就可以了。它们之间的联系就是整除是除尽的特殊情况。
顺便提示:注意区分“除”和“除以”:
b÷a读作“a除b”或“b除以a”
除以是被除数在前,除数在后。
除是除数在前,被除数在后。
一个数能被3或9整除的特征
如果一个数的各个位的和能被3或9整除,那么这个数就能被3或9整除。
现在来看看为什么?
解释一、对于任何整数,我们可以将其表示为每个位上的数乘以其对应的10的幂之和。以一个四位数解释,一个四位数ABCD可以表示为:
ABCD = 1000A + 100B +10C +D
这里的A、B、C、D分别代表千位、百位、十位和个位上的数字。现在,如果将每个项分解,我们可以得到:
1000A = 999A + A
100B = 99B + B
10C = 9C + C
D=D
将上述分解后的每项加起来,我们得到:
ABCD= (999A + A) + (99B + B) + (9C + C) + D
= 999A + 99B +9C + (A + B + C + D)
在上面的表达式中,999A + 99B +9C都是3或9的倍数。这意味着,整个数ABCD能否被3或9整除取决于剩下的部分A + B + C + D,即这个数的各个位上的数字之和。
解释二、一个四位数ABCD可以表示为:
ABCD = 1000A + 100B +10C +D
展开每一个二项式用9M表示9的倍数项,这可以被写为
ABCD
= 9M(A + B + C) + (A + B + C + D)
这意味着,9M(A + B + C) + (A + B + C + D)能否被9整除,取决于这个表达式最后部分(A + B + C + D),也就是ABCD的各位数字之和能否被9整除,能被9整除,当然可被3整除(9是3的倍数)。
练习、判断、能被3或9整除吗?
一个数能被11整除的数的特征
如果一个数奇数位之和与偶数位之和的差,能被11整除,则这个数能被11整除。假设:位置编号从1开始,从一端开始如从后往前数。
解释一、对于任何整数,我们可以将其表示为每个位上的数乘以其对应的10的幂之和。以一个六位数解释,一个六位数ABCDEF可以表示为:
ABCDEF = A + 10000B + 1000C + 100D + 10E + F
现在,让我们将这个数按照奇数位和偶数位分开,并考虑10的幂对11的性质:
(即1) 除以11的余数是1。
(即10) 除以11的余数是-1(或者可以看作是10,因为10 ≡ -1 (mod 11))。
(即100) 除以11的余数是1(因为100 ≡ 1 (mod 11))。
(即1000) 除以11的余数是-1。
- 以此类推,10的幂次交替地给出余数1和-1。
利用这个性质,我们可以将原来的数重写为:
ABCDEF = A+
B +
C +
D +
E+
F
≡ (-1)A + (1)B + (-1)C + (1)D+ (-1)E + (1)F (mod 11)
≡ -A + B – C + D – E + F (mod 11)
现在,如果我们取奇数位之和与偶数位之和的差:
由于我们在上面的等式中看到奇数位的数是带负号的,而偶数位的数是带正号的,这个差实际上就是原数除以11后的余数。如果这个差能被11整除(即余数为0),那么原数也能被11整除。反之,如果这个差不能被11整除,那么原数也不能被11整除。这就是为什么一个数的奇数位之和与偶数位之和的差能被11整除,那么这个数本身就能被11整除的原因。
解释二、考虑十进制数ABCDEF
ABCDEF = A + 10000B + 1000C + 100D + 10E + F
展开每一个二项式用11M表示11的倍数项,这可以被写为
=[11M – 1]A + [11M + 1]B + [11M-1]C + [11M+1]D + [11M-1]E +F
=11M(A + B + C + D + E ) +(-A + B – C + D – E + F)
这意味着,11M(A + B + C + D + E ) +(-A + B – C + D – E + F)能否被11整除,取决于这个表达式最后部分,-A + B – C + D – F + E = (B+D+F)-(A+C+E)= (奇数位置的数字和) – (偶数位置的数字和)。
练习、判断、能被11整除吗?
附录、二项展开式定理
二项展开式的系数规律
OK!
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