语言中对角线和反对角线_竞赛中的几何问题:托勒密定律及应用

语言中对角线和反对角线_竞赛中的几何问题:托勒密定律及应用在平面几何学习中 除了一些常用的公理 定理外 对于准备数学竞赛的选手还需要掌握一些特殊的定理

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在平面几何学习中,除了一些常用的公理、定理外,对于准备数学竞赛的选手还需要掌握一些特殊的定理。其中托勒密定理就是在数学竞赛中经常会引用的一个著名定理。托勒密定理最早由古希腊数学家依巴谷(也称“喜帕恰斯”)提出,后来被另一位古希腊天文学家托勒密摘录,故后来被称之为托勒密定理。托勒密定理指出:圆的内接凸四边形两对边乘积之和等于两条对角线的乘积。关于托勒密定理的证明,可以通过在四边形内分别依靠两条对角线构造一对相似三角形的方法加以证明,感兴趣的朋友可以根据上述提示尝试完成。托勒密定理的逆定理也成立,即:凸四边形的两组对边乘积的和等于两条对角线的乘积,则这个凸四边形内接于一圆。此外,托勒密定理还引申出一些推论,例如:在一条线段AD上,顺次标有B、C两点,则AD·BC+AB·CD=AC·BD,这个定理称之为“欧拉定理”,对于解决共线问题很有用处。

最后与大家分享一道2013年全国高中数学联赛的二试的一道题的解析,本题从结论入手,很容易发现与托勒密定理的形式有很强的相似度,在证明的过程,通过边长的转换并利用托勒密定理即可证明。此外本解法中涉及到证明一个四点共圆,在数学竞赛的平面几何问题中,证明四点共圆是解决几何问题的惯用手法,需引起大家的足够的注意。

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