Unbiased Estimator,超全解释

Unbiased Estimator,超全解释假设要对一个未知参数 theta 进行估计 使用的估计量为

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Unbiased Estimator,超全解释

在统计学和概率论中,无偏估计是一个非常重要的概念。它指的是对于某个未知参数的估计量,在多次独立重复试验中,其期望值等于真实参数值的情况下,该估计量被称为无偏估计。本篇博客将对无偏估计进行详细的介绍和解释。

1. 无偏估计的定义

假设要对一个未知参数 θ \theta θ 进行估计,使用的估计量为 θ ^ \hat{\theta} θ^。如果该估计量在多次独立重复试验中符合如下条件:

E ( θ ^ ) = θ E(\hat{\theta}) = \theta E(θ^)=θ

则称 θ ^ \hat{\theta} θ^ θ \theta θ 的一个无偏估计。

这里 E ( θ ^ ) E(\hat{\theta}) E(θ^) 表示 θ ^ \hat{\theta} θ^ 的数学期望。

2. 无偏估计的意义

无偏估计的意义在于,如果我们对未知参数 θ \theta θ 进行多次独立重复试验,每次试验中使用的估计量为 θ ^ \hat{\theta} θ^,则所有试验结果的平均值应该接近于 θ \theta θ,即:

1 n ∑ i = 1 n θ i ^ ≈ θ \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\hat{\theta_i} \approx \theta n1i=1nθi^θ

其中, n n n 表示试验的次数, θ i ^ \hat{\theta_i} θi^ 表示第 i i i 次试验中使用的估计量。

如果一个估计量不是无偏估计,那么其期望值与真实参数值之间存在偏差,这将导致最终的估计结果不准确。因此,选用无偏估计可以使得估计结果更为准确和可靠。

3. 无偏估计的构造方法

下面我们介绍一些常用的构造无偏估计的方法。

3.1 样本均值

样本均值是使用最广泛的一种无偏估计方法,其具体构造方法如下:

X 1 , X 2 , ⋯   , X n X_1,X_2,\cdots,X_n X1,X2,,Xn 为来自总体 X X X 的一组样本,则样本均值 X ˉ \bar{X} Xˉ 可以作为总体均值 μ \mu μ 的一个无偏估计,即:

E ( X ˉ ) = μ E(\bar{X}) =\mu E(Xˉ)=μ

证明:

由样本均值的定义可知,

X ˉ = 1 n ∑ i = 1 n X i \bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i Xˉ=n1i=1nXi

因此,

E ( X ˉ ) = E ( 1 n ∑ i = 1 n X i ) = 1 n E ( ∑ i = 1 n X i ) = 1 n ∑ i = 1 n E ( X i ) = 1 n ∑ i = 1 n μ = μ \begin{aligned} E(\bar{X}) &= E(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i) \\ &= \frac{1}{n}E(\sum_{i=1}^{n}X_i) \\ &= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}E(X_i) \\ &= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\mu \\ &= \mu \end{aligned} E(Xˉ)=E(n1i=1nXi)=n1E(i=1nXi)=n1i=1nE(Xi)=n1i=1nμ=μ

因此,样本均值是总体均值的一个无偏估计。

3.2 样本方差

对于总体方差 σ 2 \sigma^2 σ2,它的无偏估计量为:

S 2 = 1 n − 1 ∑ i = 1 n ( X i − X ˉ ) 2 S^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})^2 S2=n11i=1n(XiXˉ)2

其中, X 1 , X 2 , ⋯   , X n X_1,X_2,\cdots,X_n X1,X2,,Xn 为来自总体 X X X 的一组样本, X ˉ \bar{X} Xˉ 为样本均值。证明如下:

E ( S 2 ) = E ( 1 n − 1 ∑ i = 1 n ( X i − X ˉ ) 2 ) = 1 n − 1 E ( ∑ i = 1 n ( X i − X ˉ ) 2 ) = 1 n − 1 E ( ∑ i = 1 n ( X i − μ + μ − X ˉ ) 2 ) = 1 n − 1 E ( ∑ i = 1 n [ ( X i − μ ) 2 + 2 ( X i − μ ) ( μ − X ˉ ) + ( μ − X ˉ ) 2 ] ) = 1 n − 1 ( ∑ i = 1 n E [ ( X i − μ ) 2 ] + 2 ( μ − X ˉ ) ∑ i = 1 n E ( X i − μ ) + ( μ − X ˉ ) 2 n ) = 1 n − 1 ( ( n − 1 ) σ 2 − 2 ( μ − X ˉ ) n ( μ − μ ) + ( μ − X ˉ ) 2 n ) = σ 2 \begin{aligned} E(S^2) &= E(\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})^2) \\ &= \frac{1}{n-1}E(\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})^2) \\ &= \frac{1}{n-1}E(\sum_{i=1}^{n}(X_i-\mu+\mu-\bar{X})^2) \\ &= \frac{1}{n-1}E(\sum_{i=1}^{n}[(X_i-\mu)^2+2(X_i-\mu)(\mu-\bar{X})+(\mu-\bar{X})^2]) \\ &= \frac{1}{n-1}(\sum_{i=1}^{n}E[(X_i-\mu)^2]+2(\mu-\bar{X})\sum_{i=1}^{n}E(X_i-\mu)+(\mu-\bar{X})^2n) \\ &= \frac{1}{n-1}((n-1)\sigma^2-2(\mu-\bar{X})n(\mu-\mu)+(\mu-\bar{X})^2n) \\ &= \sigma^2 \end{aligned} E(S2)=E(n11i=1n(XiXˉ)2)=n11E(i=1n(XiXˉ)2)=n11E(i=1n(Xiμ+μXˉ)2)=n11E(i=1n[(Xiμ)2+2(Xiμ)(μXˉ)+(μXˉ)2])=n11(i=1nE[(Xiμ)2]+2(μXˉ)i=1nE(Xiμ)+(μXˉ)2n)=n11((n1)σ22(μXˉ)n(μμ)+(μXˉ)2n)=σ2

因此,样本方差也是总体方差的一个无偏估计。

3.3 无偏样本比例估计

设总体中成功的比例为 p p p,来自该总体的一组样本中成功的比例为 p ^ \hat{p} p^,则有:

E ( p ^ ) = p E(\hat{p}) = p E(p^)=p

证明如下:

E ( p ^ ) = E ( X n ) = 1 n E ( X ) = 1 n n p = p \begin{aligned} E(\hat{p}) &= E(\frac{X}{n}) \\ &= \frac{1}{n}E(X) \\ &= \frac{1}{n}np \\ &= p \end{aligned} E(p^)=E(nX)=n1E(X)=n1np=p

其中, X X X 表示样本中成功的数量。

因此,样本比例可以作为总体比例的一个无偏估计。

4. 总结

无偏估计是统计学和概率论中的重要概念之一。选用无偏估计能够保证估计结果更为准确和可靠。常用的构造无偏估计的方法包括样本均值、样本方差和无偏样本比例估计等。

但需要注意的是,无偏估计不一定是最优的估计方法。在实际应用中,还需要考虑估计量的方差、偏差和均方误差等指标,综合评估估计方法的性能和优劣,并选择最优估计方法。

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