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假设
w = f ( z ) = u ( x , y ) + i v ( x , y ) w=f(z)=u(x, y)+\mathrm{i} v(x, y) w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)
是复变元 z = x + i y z=x+\mathrm{i} y z=x+iy 的一个定义在区域 D D D 内的函数.
当二元实函数 u ( x , y ) u(x, y) u(x,y) 及 v ( x , y ) v(x, y) v(x,y)给定时, 此函数也就完全确定.
一般说来, 如果函数 u ( x , y ) u(x, y) u(x,y) 与 v ( x , y ) v(x, y) v(x,y) 互相独立, 即使函数 u ( x , y ) u(x, y) u(x,y) 及 v ( x , y ) v(x, y) v(x,y) 对 x x x与 y y y 所有偏导数都存在, 函数 f ( z ) f(z) f(z) 通常也是不可微的.
例如, w = z ˉ = x − i y w=\bar{z}=x-\mathrm{i} y w=zˉ=x−iy 处处连续, 并且 u = x , v = − y u=x, v=-y u=x,v=−y 对 x x x 和 y y y的一切偏导数都存在且连续,但由例 2.1 知, w = z ˉ w=\bar{z} w=zˉ却是一个处处不可微的函数.
因此, 如果函数 f ( z ) f(z) f(z) 是可微的, 它的实部 u ( x , y ) u(x, y) u(x,y) 与虚部 v ( x , y ) v(x, y) v(x,y)应当不是互相独立的,而必须适合一定的条件, 下面我们就来探讨这种条件.
若 f ( z ) = u ( x , y ) + i v ( x , y ) f(z)=u(x, y)+\mathrm{i} v(x, y) f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 在一点 z = x + i y z=x+\mathrm{i} y z=x+iy 可微,而且设
lim Δ z → 0 f ( z + Δ z ) − f ( z ) Δ z = f ′ ( z ) ( 2.3 ) \lim \limits_{\Delta z \rightarrow 0} \cfrac{f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z}=f^{\prime}(z) \quad\quad(2.3) Δz→0limΔzf(z+Δz)−f(z)=f′(z)(2.3)
又设 Δ z = Δ x + i Δ y , f ( z + Δ z ) − f ( z ) = Δ u + i Δ v \Delta z=\Delta x+\mathrm{i} \Delta y, f(z+\Delta z)-f(z)=\Delta u+\mathrm{i} \Delta v Δz=Δx+iΔy,f(z+Δz)−f(z)=Δu+iΔv,其中
Δ u = u ( x + Δ x , y + Δ y ) − u ( x , y ) , Δ v = v ( x + Δ x , y + Δ y ) − v ( x , y ) . \begin{array}{l} \Delta u=u(x+\Delta x, y+\Delta y)-u(x, y), \\ \Delta v=v(x+\Delta x, y+\Delta y)-v(x, y) . \end{array} Δu=u(x+Δx,y+Δy)−u(x,y),Δv=v(x+Δx,y+Δy)−v(x,y).
(2.3) 变为
lim Δ x → 0 Δ y → 0 Δ u + i Δ v Δ x + i Δ y = f ′ ( z ) ( 2.4 ) \lim \limits_{\substack{\Delta x \rightarrow 0 \\ \Delta y \rightarrow 0}} \cfrac{\Delta u+\mathrm{i} \Delta v}{\Delta x+\mathrm{i} \Delta y}=f^{\prime}(z) \quad\quad(2.4) Δx→0Δy→0limΔx+iΔyΔu+iΔv=f′(z)(2.4)
因为 Δ z = Δ x + i Δ y \Delta z=\Delta x+\mathrm{i} \Delta y Δz=Δx+iΔy 无论按什么方式趋于零时,(2.4) 总是成立的. 先设 Δ y = 0 \Delta y=0 Δy=0, 令 Δ x → 0 \Delta x \rightarrow 0 Δx→0, 即变点 z + Δ z z+\Delta z z+Δz 沿平行于实轴的方向趋于点 z z z (图 2.1), 此时 (2.4) 成为
lim Δ x → 0 Δ u Δ x + i lim Δ x → 0 Δ v Δ x = f ′ ( z ) , \lim \limits_{\Delta x \rightarrow 0} \cfrac{\Delta u}{\Delta x}+\mathrm{i} \lim \limits_{\Delta x \rightarrow 0} \cfrac{\Delta v}{\Delta x}=f^{\prime}(z), Δx→0limΔxΔu+iΔx→0limΔxΔv=f′(z),
于是知 ∂ u ∂ x , ∂ v ∂ x \cfrac{\partial u}{\partial x}, \cfrac{\partial v}{\partial x} ∂x∂u,∂x∂v必然存在,且有
∂ u ∂ x + i ∂ v ∂ x = f ′ ( z ) = lim Δ y = 0 Δ x → 0 Δ w Δ z = lim y , y 0 f ( z ) − f ( z 0 ) z − z 0 ( 2.5 ) \begin{aligned} \cfrac{\partial u}{\partial x}+\mathrm{i} \cfrac{\partial v}{\partial x} & =f^{\prime}(z) \\ & =\lim \limits_{\substack{\Delta y=0 \\ \Delta x \rightarrow 0}} \cfrac{\Delta w}{\Delta z}=\lim \limits_{\substack{y \\ , y_{0}}} \cfrac{f(z)-f\left(z_{0}\right)}{z-z_{0}} \quad\quad(2.5) \end{aligned} ∂x∂u+i∂x∂v=f′(z)=Δy=0Δx→0limΔzΔw=y,y0limz−z0f(z)−f(z0)(2.5)
同样, 设 Δ x = 0 \Delta x=0 Δx=0, 令 Δ y → 0 \Delta y \rightarrow 0 Δy→0, 即变点 z + Δ z z+\Delta z z+Δz沿平行于虚轴的方向趋于点 z z z (图 2.1), 此时 (2.4) 成为
− i lim Δ y → 0 Δ u Δ y + lim Δ y → 0 Δ v Δ y = f ′ ( z ) , -\mathrm{i} \lim \limits_{\Delta y \rightarrow 0} \cfrac{\Delta u}{\Delta y}+\lim \limits_{\Delta y \rightarrow 0} \cfrac{\Delta v}{\Delta y}=f^{\prime}(z), −iΔy→0limΔyΔu+Δy→0limΔyΔv=f′(z),
故知 ∂ u ∂ y , ∂ v ∂ y \cfrac{\partial u}{\partial y}, \cfrac{\partial v}{\partial y} ∂y∂u,∂y∂v亦必存在, 且有
− i ∂ u ∂ y + ∂ v ∂ y = f ′ ( z ) = lim Δ x = 0 Δ y → 0 Δ w Δ z = lim x = x 0 y = y 0 f ( z ) − f ( z 0 ) z − z 0 ( 2.6 ) \begin{aligned} -\mathrm{i} \cfrac{\partial u}{\partial y}+\cfrac{\partial v}{\partial y} & =f^{\prime}(z) \\ & =\lim \limits_{\substack{\Delta x=0 \\ \Delta y \rightarrow 0}} \cfrac{\Delta w}{\Delta z}=\lim \limits_{\substack{x=x_{0} \\ y=y_{0}}} \cfrac{f(z)-f\left(z_{0}\right)}{z-z_{0}} \quad\quad(2.6) \end{aligned} −i∂y∂u+∂y∂v=f′(z)=Δx=0Δy→0limΔzΔw=x=x0y=y0limz−z0f(z)−f(z0)(2.6)
比较 (2.5) 及 (2.6) 得出 f ( z ) f(z) f(z)可微的条件为:
∂ u ∂ x = ∂ v ∂ y , ∂ u ∂ y = − ∂ v ∂ x \color{red}{\cfrac{\partial u}{\partial x}=\cfrac{\partial v}{\partial y}, \quad \cfrac{\partial u}{\partial y}=-\cfrac{\partial v}{\partial x}} ∂x∂u=∂y∂v,∂y∂u=−∂x∂v
这是关于 u u u 及 v v v 的偏微分方程组, 称为柯西-黎曼方程 (简称 C. – R.方程, 简记为 C. – R.).
注 灵活应用 ( 2.5 ) (2.5) (2.5) 及 ( 2.6 ) (2.6) (2.6) 这两个公式, 计算 f ( z ) f(z) f(z) 的实部 u ( x , y ) u(x, y) u(x,y)及虚部 v ( x , y ) v(x, y) v(x,y)在点 ( x 0 , y 0 ) \left(x_{0}, y_{0}\right) (x0,y0) 的偏导数, 是比较方便的.
总结以上探讨,即得下述定理:
定理 2.1 (可微的必要条件)
设函数
f ( z ) = u ( x , y ) + i v ( x , y ) f(z)=u(x, y)+\mathrm{i} v(x, y) f(z)=u(x,y)+iv(x,y)
在区域 D D D 内有定义,且在 D D D 内一点 z = x + i y z=x+\mathrm{i} y z=x+iy 可微,则必有
- 偏导数 u x , u y , v x , v y u_{x}, u_{y}, v_{x}, v_{y} ux,u
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