【圆锥曲线】椭圆

【圆锥曲线】椭圆本文详细探讨了椭圆的数学定义及其标准方程的推导 阐述了椭圆的切线方程计算方法 并证明了椭圆的光学性质 从一个焦点发出的光线会汇聚到另一焦点

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一、椭圆定义与标准方程

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1. 椭圆定义

椭 圆 定 义 : 到 两 顶 点 距 离 之 和 为 定 值 的 曲 线 椭圆定义:到两顶点距离之和为定值的曲线 线

2. 标准方程

标 准 方 程 : x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 标准方程:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 a2x2+b2y2=1

3. 证明等价

为了方便计算,从定义到标准方程,即
证 明 : 到 两 点 F 1 ( − c , 0 ) , F 2 ( c , 0 ) 距 离 之 和 为 定 值 2 a 的 运 动 轨 迹 满 足 方 程 : x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 ( b 2 = a 2 − c 2 ) 证明:到两点F_1(-c,0),F_2(c,0)距离之和为定值2a的运动轨迹满足方程:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(b^2=a^2-c^2) F1(c,0),F2(c,0)2a:a2x2+b2y2=1(b2=a2c2)
推导过程
$$
\begin{align}

\sqrt{(x+c)^2 + y^2} + \sqrt{(x-c)2+y2}&=2a\
\sqrt{(x+c)^2 + y^2}&=2a – \sqrt{(x-c)2+y2}\
x2+2cx+c2+y^2 &=4a2-4a\sqrt{(x-c)2+y2}+x2-2cx+c2+y2\
4a2-4cx&=4a\sqrt{(x-c)2+y^2}\
a^2-cx &=a\sqrt{(x-c)2+y2}\
a4-2a2cx+c2x2&=a2(x2-2cx+c2+y2)\
(a2-c2)x2+a2y2&=a2(a2-c2) \
\frac{x2}{a2}+\frac{y2}{b2}&=1 \uad// b2=a2-c^2
\end{align}
$$
由于每步都是等价的,所以反过来也可以由标准方程推出定义

二、切线方程

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问题

已 知 : 椭 圆 参 数 方 程 x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 求 : 过 椭 圆 上 一 点 M ( x 0 , y 0 ) 的 切 线 l 已知:椭圆参数方程\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\\ 求:过椭圆上一点M(x_0,y_0)的切线l a2x2+b2y2=1M(x0,y0)线l

解法

KaTeX parse error: No such environment: align at position 8: \begin{̲a̲l̲i̲g̲n̲}̲ &对于方程关于x求导得到\f…

三、椭圆光学性质

椭圆的光学性质:从一个焦点发出的光线,都会汇聚到另一个焦点。

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问题描述:

证 明 : 椭 圆 的 焦 点 F 1 , F 2 , 以 及 椭 圆 上 任 意 一 点 C ( C 不 和 F 1 F 2 共 线 ) , 作 C 的 角 平 分 线 l , 过 C 点 作 l 的 垂 线 m 则 m 为 椭 圆 的 切 线 证明:椭圆的焦点F_1,F_2,以及椭圆上任意一点C(C不和F_1F_2共线),作C的角平分线l,过C点作l的垂线m\\则m为椭圆的切线 F1,F2,C(CF1F2线)C线l,Cl线mm线

证明思路:

作 C F 1 关 于 m 的 对 称 线 段 C A 。 容 易 证 明 A 、 C 、 F 2 共 线 , 而 对 于 m 上 不 是 C 的 点 P 都 有 : 作CF_1关于m的对称线段CA。容易证明A、C、F_2共线,而对于m上不是C的点P都有: CF1m线CAACF2线mCP
P F 1 + P F 2 = P A + P F 2 > A C + C F 2 = 2 a PF_1+PF_2 = PA+PF_2 > AC+CF_2=2a PF1+PF2=PA+PF2>AC+CF2=2a
也 就 是 说 P F 1 + P F 2 > 2 a , 即 P 点 落 在 椭 圆 外 。 直 线 m 与 椭 圆 只 有 C 一 个 交 点 , 即 m 是 椭 圆 的 切 线 也就是说PF_1+PF_2>2a,即P点落在椭圆外。直线m与椭圆只有C一个交点,即m是椭圆的切线 PF1+PF2>2a,P线mCm线

离心率(e= c a \frac{c}{a} ac

e = c a e=\frac{c}{a} e=ac

因为a>c>0,所以0<e<1。e越趋近1,则c越趋近a,从而b趋近0,椭圆越扁;反之e越趋近0,c越趋近0,b越趋近a,椭圆就越趋近于圆

椭圆第二定义

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另外圆锥曲线第二定义: 平 面 上 一 点 到 一 个 定 点 和 定 直 线 的 距 离 之 比 小 于 1 时 , 轨 迹 是 椭 圆 ; 等 于 1 时 , 轨 迹 是 抛 物 线 , 大 于 1 时 , 轨 迹 是 双 曲 线 平面上一点到一个定点和定直线的距离之比小于1时,轨迹是椭圆;等于1时,轨迹是抛物线,大于1时,轨迹是双曲线 线11线1线

证明:
KaTeX parse error: No such environment: align at position 8: \begin{̲a̲l̲i̲g̲n̲}̲ 根据已知有:\frac{\s…

准线( x = ± a 2 c x=\pm\frac{a^2}{c} x=±ca2

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焦准距(p= b 2 c \frac{b^2}{c} cb2

焦点到相应准线的距离,比如右焦点 ( c , 0 ) (c, 0) (c,0)到右准线 x = a 2 c x=\frac{a^2}{c} x=ca2,为定值: p = b 2 c p=\frac{b^2}{c} p=cb2

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焦半径(r= a ± e x a\pm ex a±ex或者 e p 1 ± e cos ⁡ θ \frac{ep}{1\pm e\cos{\theta}} 1±ecosθep

椭圆上一点到椭圆焦点的距离称为焦半径,如下图;在这种情况下 r = a − e x r=a-ex r=aex

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推导过程用标准方程计算,去凑 a − e x a-ex aex a − c a x a-\frac{c}{a}x aacx就可以了

或者利用椭圆第二定义证明(更快)

第二种: r = e p 1 ± e cos ⁡ θ r=\frac{ep}{1\pm e\cos{\theta}} r=1±ecosθep

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证明: 椭 圆 上 一 点 到 右 焦 点 距 离 r = e p 1 + e cos ⁡ θ 椭圆上一点到右焦点距离r=\frac{ep}{1+e\cos{\theta}} r=1+ecosθep
KaTeX parse error: No such environment: align at position 8: \begin{̲a̲l̲i̲g̲n̲}̲ &设P到右准线的距离为m,则…
同理易证: 到 左 焦 点 距 离 r = e p 1 − e cos ⁡ θ 到左焦点距离r=\frac{ep}{1-e\cos{\theta}} r=1ecosθep

通径(d= 2 e p 2ep 2ep

过焦点,垂直于主轴的弦长 d = 2 e p d=2ep d=2ep

性质:所有过焦点的弦中最短的

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证明:通径是所有过焦点的弦中,最短的那条

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