矩阵论笔记(三)——欧氏空间与正交变换

矩阵论笔记(三)——欧氏空间与正交变换包括两种内积空间 1 实内积空间 欧氏空间 2 复内积空间 酉空间 本节讲欧氏空间 包括四个部分 1 欧氏空间 2 正交性 3 正交变换与正交矩阵 4 对称变换与对称矩阵欧氏空间欧氏空间即

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包括两种内积空间:

本节讲欧氏空间,包括四个部分:

(1)欧氏空间
(2)正交性
(3)正交变换与正交矩阵
(4)对称变换与对称矩阵

欧氏空间

欧氏空间即是实内积空间

定义:

(1)欧氏空间:实数域上的 V 定义两向量到实数的映射 (x,y),满足交换律、分配率、齐次性、非负性,称为内积,V 称为内积空间或欧氏空间;
(2)相关定义:度量矩阵(Gram 矩阵、基两两内积),度量矩阵下 (x,y)=ξTAη ,其中 ξ,η 为坐标,长度(模、范数)、单位向量、单位化/规范化),夹角 <x,y>=arccos(x,y)xy <script type=”math/tex” id=”MathJax-Element-3″> = \text{arccos}\frac{(x,y)}{\|x\|\|y\|}</script>;
(3) 不等式:三角不等式 x+yx+y (x,y)xy

结论:

(1)合同:同一线性空间不同基的度量矩阵是合同的 B=CTAC

正交性

内积为零称为成交。

  • 定义:

    (1)正交性:两向量正交/垂直、零向量与任何向量正交,正交向量组,正交基、标准正交基、单位坐标向量,标准正交基的坐标可由内积表达出来 x=(x,x_1)x_1++(x,x_n)x_n ,正交单位化/规范化,正交补空间( Vn 中所有与 V_1 正交的向量的集合),齐次方程组的解空间是系数向量组的正交补空间;
    (2)相关结论:
       ① xy ,则 x+y2=x2+y2
       ② 正交向量组必线性无关;
       ③ 标准正交基的充要条件是其度量矩阵为单位阵;
       ④ 任一非零欧氏空间都有正交基和标准正交基;
       ⑤ 若 x_1,,x_m y 正交,则其线性组合也与

    y
    正交;
       ⑥ y

    V_1
    正交的充要条件是 y

    V_1
    的每个基正交;
       ⑦ Vn=V_1V_1 dimV_1+dimV_1=n
       ⑧ R(A)=N(AT), R(AT)=N(A), R(A)N(AT)=m, R(AT)N(A)=n ,复数域中 AT 改成 AH 同样成立。

(证明 ⑧: R(A)={
yyk_1α_1++k_nα_n}
={
yyα_j, j=1,,n}
={
yα_jTy=0}={
yATy=0}
=N(AT) )。

  • 计算:

    (1)标准正交基:① 取一组基;② Schmidt 正交化;③ 单位化。

正交变换与正交矩阵

使向量长度不变的变换,即是正交变换。

  • 定义:

(1)正交变换:正交变换 (x,x)=(Tx,Tx) 、充要条件为 (x,y)=(Tx,Ty) (证:用 (xy,xy)=(T(xy),T(xy)) ),正交矩阵( QTQ=I QT=Q1 )、充要条件是其列向量为两两正交的单位向量;
(2)充要条件: T 是正交变换的充要条件是其对于标准正交基的矩阵是正交矩阵(注意,对于非标准正交基,

T
的矩阵不一定是正交阵);
(3)推论:正交矩阵非奇异;交阵的乘积、逆仍是正交阵;正交变换的乘积、逆仍是正交变换;标准正交基的过渡矩阵为正交阵。

对称变换与对称矩阵

实对称阵的特征值必是实数,且不同特征值的特征向量必正交。

  • 定义:

(1)对称变换: (Tx,y)=(x,Ty) T <script type=”math/tex” id=”MathJax-Element-37″>T</script> 是对称变换的充要条件是其对于标准正交基的矩阵是实对称矩阵;
(2)相关结论:① 实对称矩阵的特征值都是实数;② 实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量是正交的。

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