8.Python趣味数学笔记：点积和叉积

大家好，欢迎来到IT知识分享网。

向量相乘分为：点积（例如：）和叉积（例如：），对于数来说，这些符号意思都是表示数字相乘，但是对于向量来说，却表示完全不同的操作。

点积

点积（也叫内积）是对两个向量的运算，返回一个标量。点积适用于二维、三维等任意维度的向量，可以用来测量向量之间的“对齐程度”。

计算公式：

假设：

表示的几何含义：

向量投影到向量所在的直线（三维是平面），投影长度乘上向量的长度。

余弦函数图：

利用计算公式，我们可以得到：

两向量的夹角和一个向量在另一个向量上面的投影；一般来说，点积越大，两向量夹角越小，彼此越靠近。

如果两个向量的夹角小于90°，则向量的点积为正；如果夹角大于90°，则向量的点积为负；如果夹角等于90°，则向量的点积为0。

from math import acos,sqrt,radians,degrees,pi #求向量的点积 def dot(u,v): return sum([c1*c2 for c1,c2 in zip(u,v)]) #向量的长度 def length(v): return sqrt(sum([item2 for item in v])) #求两个向量的夹角 def angle_between(u,v): return acos(dot(u,v)/(length(u)*length(v)))

举例：，夹角22.6°

，夹角=90°

，夹角132.2°

叉积

叉积（也叫向量积）以两个三维向量作为输入，其输出是另一个三维向量。它与点积的相似之处在于，输入向量的长度和相对方向决定了输出；不同之处在于，它的输出不仅有大小，还有方向。

计算公式：

假设：

表示的几何含义：

长度等于向量和向量所形成的平行四边形的面积；

方向垂直于两个向量所张成的平面，满足右手定则。

利用计算公式，我们可以得到：

一个垂直于两个向量所张成平面的向量；根据该向量可以判断方向。

举例：计算向量和的叉积。

#计算向量积 def cross_product(u,v): ux,uy,uz=u vx,vy,vz=v return (uy*vz-uz*vy,uz*vx-ux*vz,ux*vy-uy*vx) #(0, 0, 3) print(cross_product((1,1,0),(-2,1,0)))

解决问题

1.如何理解点积的几何意义？

设向量，向量，终点分别为：和，原点为O，夹角为。

在△OAB中，由余弦定理得：

利用距离公式对这个等式稍作处理：

去括号、合并：

2.叉积和行列式有什么关系？

向量和向量的叉积，形式上使用行列式可以表示为：

三维空间中，3 * 3矩阵的行列式是：三个向量所形成的平行六面体的有向体积（绝对值是体积，但需要根据方向判定其正负号）。这并非真正的叉积，但很接近。

假设我们把第一个向量看作变量，输入向量，通过矩阵的行列式可以计算出一个数，这个数就代表我们的输入向量与和所组成的平行六面体的有向体积。

上面的函数是线性的，所以我们可以将上面的行列式过程表示成一个变换过程：

当线性变换是从多维到一维时，线性变换过程又可以表示为点积形式：

可以求解出向量的坐标：

所以，问题其实变换为了，找到一个向量，使得和某个向量求点积的结果，等于对应的三维方阵行列式的值（即和向量、所组成的平行六面体的有向体积）。

左边是一个点积，相当于把向上投影，然后投影长度和的长度相乘。

右边平行六面体的体积，可以拆解为：底面积 * 高。底面积可以认为是和所组成的平行四边形的面积，高的话是在垂直于和所张成的平面的方向上的分量的长度。

点积 = 的长度*在上投影的长度

体积 = 和所组成的平行四边形的面积 * 在垂直于和所张成的平面的方向上的分量的长度

根据二者相等，可以认为的长度是和所组成的平行四边形的面积，的方向垂直于和所张成的平面。

这样我们的就找到了，而就是我们要找的叉积的结果。