来源 | 说短论长（ID：ShuoDuanLunChang）
我在写完“
我愿意这样讲被3整除数的特征
”一文并把草稿给网友看完之后，对方提议可以讲一讲被7、11等整除数的特征。这里我就讲一讲，但我不想就事论事地把所有细节都说到，而是根据我的理解，说说重点。自然，我这里说的都是我个人水平之内能说明白而且认为对于这个主题来说重要的。小学只讲怎样判断被2、3、5整除，而且好像也没有讲其中的道理。于是很多人最终也不知道道理，特别是被3整除的问题。关于这一问题我已经在上文讲过就不再重复，本文重点讲一下被11整除的判断方法。
判断能否整除，其实是数论里“同余”概念的应用。这里总的思想是用一个比较好判断的数代替原来的不好判断的数，基本的理论依据是：两个数a、b都能被c整除，则a、b的和与差都能被c整除；如果a和b有且只有一个能被c整除，则其和、差都不能被c整除。当然，如果a、b都不能被c整除，则其和、差是否能被c整除是不确定的。在研究过程中我们可以先观察若干数据，初步归纳出“猜想”，然后进行证明。这里提到的“归纳”，是从个别到一般的推理方法。很多数论问题，包括很多复杂、深入的问题，都是从归纳现象开始研究的。对推理方法感兴趣的读者可以自己找逻辑入门教材来学习“归纳法”。这里只说一点：观察和归纳给出了研究方向，但这是不严格的，所以必须要进行证明——能够通过证明的就成为定理，被否定了的猜想无论看上去多么美丽都要放弃，暂时证明不了的就只能成为“悬案”。
下面我们给出判断能否被11整除数的方法，观察和归纳的步骤就略去了，但不代表不重要：
方法一：去掉数字的最后一位，用剩下的数减去所去掉的数字，剩余部分如果能被11整除，原来的数就能被11整除，反之则不能。
例如836，用83减去6得到77，易判断77是11的倍数，所以836亦是11的倍数。
证明：以三位数为例，设原来的数为abc，即100a+10b+c，去掉最后一位并减去后得到10a+b-c。
（前面带下划线的abc表示这个三位数从高位到低位分别是a、b、c，不代表三个字母相乘，本来习惯是在字母上面划线，但因为公众号排版的限制，只好在下面划线）
因为100a+10b+c=(110a+11b)-(10a+b-c)，而(110a+11b)的两项有公因式11，一定能被11整除，所以根据前面提到的理论，(10a+b-c)如果能被11整除，原来的数就一定能被11整除；反之，如果(10a+b-c)不能被11整除，原来的数也一定不能被11整除。更多位或者更少位的数同理可证。
前面的推理顺序其实和我当初思考证明方法的时候有所不同：我是从对比(100a+10b+c)和(10a+b-c)这里获得思路的，然后为了和前面提到的理论对应上，才写成现在这样，这也是数学证明题的一个常见书写技巧。我想对于小学老师来说，这一点也要引起注意。另外要提醒大家的是，有时候我们按照上面步骤得到的结果仍然难以判断是否可以整除，这时可以对变化后的数再执行同样的变化，反复进行到能够判断出来为止。如16302变化一次成为1628
（即1630-2）
，再变化一次成为154
（即162-8）
，继续变化为11
（即15-4）
，因此16302可以被11整除。这里涉及的是“同余”的传递性。
方法二：奇数位上的数字和与偶数位上的数字和相减，所得结果如果能被11整除，则原来的数能被11整除，反之则不能。
仍以836为例，8加6减去3，得到11，所以836可以被11整除。
证明：还是以三位数为例，仍然设原来的数为abc，即100a+10b+c。奇数位上的数字和是a+c，偶数位就只有b，则：
因为100a+10b+c=(99a+11b)+(a-b+c)，写到这里大家应该已经明白了。但这只对三位数进行了证明，二位数的情况不难验证，但更多位呢？比如四、五、六位的情况怎么证明？就请大家自己思考了。
下面说说如何判断7、13、17等等的整除，都类似于前面的方法一，但有个重要区别：划掉最后一位后，用剩余的数要减去（或者有可能是加上？）划掉数字的某个倍数。具体是减去或者加上多少倍就请大家自行思考。这并不难，困难的倒是如果让你教小学生这个知识点，你怎么办？
后记：
可能很多人会好奇这些比较复杂的判断方法是怎么被发现的，说实话我也不知道。印象中我上小学的时候班上有同学带来了一本数学课外书，里面有一些相关内容，虽然我没有看这本书，但是模模糊糊地听到同学的议论，脑子里多少有点印象，只记得要划掉最后一位然后用剩下部分减去划掉数字的某个倍数。至于本文的方法二，好像是我上学时某年的寒假或者暑假作业（那种统一出版的作业，类似于现在的练习册，好像是横版16开本）里有一条知识扩展，至于这方面的证明，即使我看过也没专门记忆。不过对于被17整除的判断方法，我是初中时某次平时测验期间，因为已经做完习题闲着没事时发现的。当然这少不了前面说过的那本小学时让我有了模糊印象的课外书的功劳：如果没有那本书的启发，我是万万想不到这种判断方法的。
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