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简单明了地告诉你结论:期望就是均值。
首先需要明确的一点是:只有随机变量才有期望值。
何谓随机变量?简单地说,一个变量
,它的取值是随机遇而定的,即我们不能预先知道它取值多少。所以自然地,面对一个如此奇怪充满未知的东西,我们希望用某些工具来刻画它,对它的性质有一点点了解,比如用分布函数,比如用期望方差偏度峰度等诸多统计量。
期望定义:
连续型随机变量:
离散型随机变量:
从数学上来说,这两个奇怪的公式实际上就是求加权平均数。从这个定义告诉我们,期望就是平均数,是随机变量各个取值对取这个值的概率的加权平均。如果我们知道
的分布函数,可以通过这个公式算出来它的期望。
但是现实情况往往不会那么好,对于一个随机变量
,我们经过很多次观察,获得了一组观察值
,并且我们对于它的分布不了解,不能直接计算出来期望。所以换一个方法“估计”它的期望。它的期望是多少?它的平均值是多少?我们对这个随机变量的“期待”是多少?在统计学上,这都是一个问题。用同样的思路,那就是取平均了,
,在统计学中,这个样本均值对随机变量期望是无偏估计,即当n充分大的时候,这个估计会和期望“非常非常接近”。
再提到你的例子,扔一个均匀硬币,正面+1分反面-1分,则数学“预期”是0。
设一个随机变量
表示丢硬币的结果,这是一个离散的随机变量,取1和-1的概率都是0.5。其实我们已经知道
的分布了,可以按照公式直接求期望。
但是为了解释清楚什么叫期望,我们还按照上述第二种情况来算。
我们丢了
次硬币,得到了一组观察值
,这里面有1有-1,肯定没有0。
但是随着
增大,根据“非常非常接近”,平均值会趋向于0。所谓预期结果是0,即你独立重复实验很多很多次,平均值会非常接近0。如果不趋向0,我们则有把握说这个硬币不是均匀的。
再照应一下开头:
如果我们知道随机变量的分布,期望就是公式定义的加权平均值。
如果我们不知道分布,只有随机变量的一些观察样本,那么随机变量的期望和样本的均值相差应该不大。
— 完 —
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