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在之前的介绍的概率论的基本内容中我们研究的对象主要是随机变量,直接从实验的结果出发,不关心现象发生的过程规律。但是我们接触的自然界的随机现象都是变化的,如何对变化的随机现象进行研究呢?这就需要更进一步,充分考虑时间变化带来的影响,考虑了时间影响的随机变量就叫随机过程。比如研究一年中天气变化的规律、研究一段时间内的环境对系统的影响等等(随机变化的信号与噪声的关系),这些都可以建模成为随机过程。理解了随机过程这个数学概念产生的背景,其他的数学概念就很好理解了。
我们都知道随机变量可以用其分布律、分布函数(概率密度函数)来刻画,并且可以通过数字特征来研究,那随机过程也是非常类似的。区别在于所有的规律中必须要体现时间(依赖于时间)。
随机过程:一族依赖于时间的随机变量称为随机过程。(一族的意思是指每一个时间点都可以看成是一个随机变量,这组随机变量之间的关系可由时间来刻画),比如每天温度都是一个随机变量可能满足正态分布,而一个月的温度变化是由每天的温度连续变化来体现的,所以一个月的温度变化就用随机过程来刻画。所以,解决现实问题的时候可以参考这样的思路,如果只考虑结果那么我们采用随机变量的概念来刻画,如果要考虑过程影响(研究过程变化的规律)那么就需要用随机过程来表达。比如测量运动目标的距离时存在测量误差、110在指定时间段内接警次数、通讯系统各种噪声的干扰、生物群落生长和变化过程等等。
参数集:就是时间的动态变化范围称为参数集。
状态空间:这里的状态空间对应于随机变量的样本空间,指随机过程中的随机变量可能的取值范围,比如气温的范围在-50℃-50℃(再低或者再高人类可能无法生存了)
样本函数(样本曲线):样本函数是指对随机过程的一次观察,比如某1个月的气温变化。(类比随机变量的一次实验)
分布函数:随机过程在某一时刻的状态可以用随机变量来描述,所以分布函数依赖于时间F(x,t),本质上是一个二维函数。所以复杂系统之所以复杂,是因为构成的变量较多,一维世界的生物永远无法理解二维世界,我们这些生活在四维时空中的生物也无法理解高维的世界是一个道理。
数字特征:随机过程的数字特征概念与随机变量差不多,但是这些特征都要加上一个时间依赖,所以均值就变成了均值函数(由各个随机变量的均值构成)、方差变成了方差函数、协方差就变成了协方差函数等等。其中最重要的是均值函数与自相关函数,因为这两个函数刻画了随机过程的一般规律和过程变化的基本规律,是随机过程统计特征的集中刻画。
二阶矩过程:随机过程中研究主要过程类型都是这个类型的,所以有必要知道一下。定义很简单的,就是二阶矩都存在的过程称为二阶矩过程,因为只有中心矩和原点矩都存在,才能通过其数字特征研究随机过程的特性。
二维随机过程:研究对象包括了多个随机过程,比如信号系统中的同时包括信号与噪声的输出就可以建模为二维随机过程。如果他们之间不是相互独立的,那么他们的二阶混合原点矩存在,称为互相关函数,同理还存在互协方差函数。这里有两个结论要知道,如果连个随机过程的互协方差函数为0,则两个随机过程不相关;两外一个两个随机过程相互独立其互协方差系数为0,反之则不成立。对于多个随机过程组成的线性系统,W(t)=X(t)+Y(t)+Z(t),均值函数为过程的均值函数之和,而相关函数则等于各自的相关函数与两两之间的互相关函数之和。所以线性是系统分析的一个重要假设,很多研究都要基于线性的假设,所以我们也特别关心每个变量的动态范围(线性变化的范围,这个范围越大则结果越好)
独立增量过程:随机过程中过程中的变化是相互独立的,比如昨天与今天的温度差和昨天与前天的温度差之间没有关系,则这个过程称之为独立增量过程。举个非独立增量过程的例子,比如银行的复利就不是独立增量的,因为今天赚的钱取取决于昨天的本金。如果增加量与初始状态无关,比如麦子今天收拾100斤,明天收还是一百斤,增加的结果与开始时间无关,则这个增量又是平稳的。下面讲两个典型的独立增量过程,泊松过程和维纳过程。这里有个重要的推导,就是在独立增量过程在初始状态为0的条件下,协方差函数可以用方差函数来表示。(推导略)
泊松过程:统计一段时间内的质点出现个数的过程,也称为计数过程。如果计数过程满足三个假设:1、不同时间段之间增量相互独立;2、对充分小的间隔通过1个质点的概率可以刻画为间隔的线性关系+高阶无穷小;3、对于充分小的间隔通过2个以上的质点概率为一个高阶无穷小既与出现一个质点的概率相比可以忽略不计。把满足上述条件的计数过程称为泊松过程。
维纳过程:比如一个喝醉的人丢了,我们要找到他怎么找呢?就可以用这个维纳过程作为数学模型来描述他的行为。维纳过程就是描述无规则的随机运动过程的模型,比如随机游走、布朗运动等等。它也是一类独立的随机过程,具有平稳性(平稳性可以理解为如花粉的布朗运动只与观察的时间有关,而与何时观察无关)。
随机过程是一类重要的数学模型,希望大家都能深度的掌握。
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