高中数学 | 从本质角度理解函数的性质

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函数的性质本质上指当自变量满足某些关系时,函数值是否随之满足某些关系.具有某种性质的函数,会同时反应在函数的解析式与函数的图象上,借助于性质的本质,解析式满足的关系与图象满足的特征之间可以很好地对应起来.

以偶函数为例,若函数 是偶函数,那么它的解析式满足方程 高中数学 | 从本质角度理解函数的性质,它的图象关于 轴对称.从偶函数本质上理解:当两个自变量的和为 时,对应的函数值相等,这两个点也恰好关于 轴对称,如图:

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如果一个函数 满足对定义域内任意一个 高中数学 | 从本质角度理解函数的性质,都有

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那么函数 具有什么性质,图象具有什么特点呢?

从形式上看,这与偶函数的定义不一样,但从本质上来看,仍然满足当自变量的和为 时,函数值相等,所以 仍然为偶函数.

事实上,令 高中数学 | 从本质角度理解函数的性质,则我们得到高中数学 | 从本质角度理解函数的性质.

从这个角度出发,我们可以推导,如果函数 的图象关于直线 对称, 的解析式满足的方程.

推导图象关于 对称,意味着自变量的和为 时,函数值相等,所以有

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如果你愿意,也可以写成

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甚至

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因为这些方程都可以导出当自变量的和为 时,函数值相等.

解析式满足的关系式可以从形式上千变万化,但从本质上始终保持一致.抓住性质的本质就可以以不变应万变.

根据上面的思路,由奇函数的定义 高中数学 | 从本质角度理解函数的性质,很容易得到奇函数的本质:当自变量的和为 时,函数值的和也为 .由此可以推导与中心对称相关的性质.比如:

若函数 满足: 高中数学 | 从本质角度理解函数的性质,那么 关于高中数学 | 从本质角度理解函数的性质中心对称,因为当自变量的和为 时,函数值的和为 .

若函数 的图象关于点 高中数学 | 从本质角度理解函数的性质中心对称,则有

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下面看一个用性质的本质去推导的例子:

求证如果一个函数有双对称轴,那么它一定是周期函数.

不妨以特殊的函数为例进行证明,若函数 的图象关于 高中数学 | 从本质角度理解函数的性质与 对称,证明 是周期函数,并求出它的一个周期.

由 的图象关于 对称知,当自变量和为 时,函数值相等,即

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同理有

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于是我们得到

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这说明当自变量相差 时,函数值相等,这是周期性的本质,故 是周期函数, 是它的一个周期.

最后我们给出一道练习(2009年高考数学全国I卷理科第11题)

函数 的定义域为 高中数学 | 从本质角度理解函数的性质,若高中数学 | 从本质角度理解函数的性质高中数学 | 从本质角度理解函数的性质都是奇函数,则

A. 是偶函数

B. 是奇函数

C. 高中数学 | 从本质角度理解函数的性质

D. 高中数学 | 从本质角度理解函数的性质是奇函数

答案 D

提示:令 高中数学 | 从本质角度理解函数的性质,由高中数学 | 从本质角度理解函数的性质高中数学 | 从本质角度理解函数的性质,即

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同理有

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从而有

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得到 是周期为 的函数,从而 高中数学 | 从本质角度理解函数的性质为奇函数.

除了从性质的本质角度出发外,利用图象的变换也是一个可以尝试的角度,但有一定的局限性.比如,若 的图象关于 对称知,我们推导 满足的方程.将 的图象向左平移两个单位后,得到的函数的图象关于 轴对称,即高中数学 | 从本质角度理解函数的性质是一个偶函数.记高中数学 | 从本质角度理解函数的性质,有高中数学 | 从本质角度理解函数的性质,从而

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