“养正”第一课丨从勾股定理谈起

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最近，我在家乡建的养正幼儿园竣工了。竣工典礼应该用什么形式好呢，想了很久，我们决定用上课的方式来庆祝竣工。

其中一堂课就是数学课，我专门请来了我的二叔。他今年75岁了，当了一辈子数学老师，我的数学就是由二叔启蒙的。那时候，二叔拿着树枝在田间地头写写画画，教会我最初的数学知识，其中就包括勾股定理。

二叔潘书林在“养正”第一课上

这次公开课，二叔又讲起了让他着迷的勾股定理，我整理了他的课件，与大家一起分享：

同学们好！各位嘉宾好！

我今天讲解的题目是：从勾股定理谈起。今天，我将与大家一起来欣赏勾股定理背后的悠悠历史和它至今的深远影响。

1.勾股定理从发现到证明的历史

从历史的角度看，在勾股定理被毕达哥拉斯学派严格证明之前，很多文明古国都已经在应用勾股定理、或者已经知道了一些典型的勾股数。

约公元前2000年左右。当时的美索不达米亚地区（今伊拉克境内），出现过一个有着辉煌历史的文明古国：巴比伦。

耶鲁大学巴比伦馆藏YBC7289号藏品

耶鲁大学的巴比伦馆有一块编号为YBC7289号的泥板，上面将一个正方形分割成了四个小的直角三角形，并刻画了一些楔形的古文字。经过现代的古语言学家解译后，居然是：正方形对角线与边长的比例近似等于1.（√2精确到小数点后第六位）。

哥伦比亚大学普林顿馆322号藏品15组勾股数

哥伦比亚大学普林顿馆的322号藏品，也是一块泥板。解译结果是15组勾股数，即满足：前两个整数的平方和等于第三个整数的平方。

古埃及的地理位置与古巴比伦相距并不算远，两大文明存在的年代上也有交叉。那古埃及人知道不知道勾股定理呢？

除了建造金字塔这样宏伟的工程之外，古埃及的城市遗址也显示了非常复杂而又规整的格局。《科学的故事》一书的作者哈希姆曾这样断言：埃及人必定曾经使用过这个公式a² + b² = c²，否则他们将不可能建造金字塔。

古埃及人拉绳艺术想象图

古埃及人也确实给我们留下了拉绳构造直角三角形的传说：在一根绳子上等间距打上13个结，一个人拉住两头、握在一起，另外两个人分别拉住第4结、第8结，然后拉直了，这就是一个直角三角形。显然，这里就是在构造“勾三、股四、弦五”的直角三角形。

兰德纸草对三角形的记述

在大英博物馆里保存了记载古埃及文明的一些沙纸草（也称为兰德纸草），上面已经有了三角形的一些记述。

古印度文明也是人类最古老的文明之一。在古印度有一本《准绳经》，约成书于公元前5世纪至公元前4世纪。主要讲祭坛的修建技术，其中包含有一些几何学方面的知识。这部书表明，他们那时已经知道了勾股定理，并使用圆周率π为3.09。古印度还有一本数学典籍叫《圣使集》，记录有关数学的内容共有66条，包括了算术运算、乘方、开方以及一些代数学、几何学和三角学的规则。

前面说了三大文明古国——古巴比伦、古埃及、古印度——人们对勾股定理的认识和应用。接下来就该说我们中华文明啦！

《周髀算经》

在《周髀算经》中，有一段记述：周朝数学家商高在与周公对话中提到：“……故折矩，勾广三，股修四，经隅五。”译过来就是：当直角三角形的两条直角边勾为三、股为四时，则斜边径隅（弦）为五。后来，人们简称为“勾三股四弦五”。

《周髀算经》，成书于公元前100年左右，书中使用了勾股术测算天体运行里数，有“立八尺之表为股，表影为勾。”的说法。虽没有给出勾股定理的证明，但对勾股定理的应用还是相当深入的。

《周髀算经》中还记载了陈子（公元前7世纪-公元前6世纪）的一段话“若求邪至日者，以日下为勾、日高为股，勾股各自乘，并以开方除之，得邪至日”。显然，陈子已经不限于“勾三股四弦五”的特例了，而是在说直角三角形三边间的普遍关系。

勾股定理是我国对它的称呼。在西方，这个定理被称为毕达哥拉斯定理。因为毕达哥拉斯是第一个严格证明勾股定理的人。

古希腊数学家毕达哥拉斯

公元前六世纪，古希腊数学家毕达哥拉斯证明了勾股定理：在一个平面直角三角形中，两条直角边边长的平方和等于斜边长的平方。为了庆祝，毕达哥拉斯学派宰杀了100头牛表示祝贺。故，该定理也称百牛定理。

赵爽弦图证法

我国最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽（约182—250年）。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，根据大正方形面积等于四个全等直接三角形与小正方形面积之和，给出了勾股定理的证明。

加菲尔德证法

美国的第二十任总统加菲尔德也给出了一个勾股定理的证法，它非常简洁、明了、通俗、易懂。这个证法的思想是用两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形拼出一个梯形，通过面积计算得到勾股定理。

达芬奇证法

达芬奇也曾经给出过勾股定理的证明。他用两张一样的纸片拼出不一样的空洞，而两个空洞的面积是相等的，利用求两个空洞面积的相等证明出勾股定理。

《几何原本》第1卷第47命题-最经典的证明

今天我们已经没法找到毕达哥拉斯当年的证明了。我们能找到最经典的证明来自欧几里得的《几何原本》（来自《几何原本》第1卷第47命题）。欧几里得比毕达哥拉斯大概晚200~300年，他记录的方法是利用全等三角形的判定定理来证明勾股定理。

《几何原本》第6卷第31命题-爱因斯坦证明与其类似

据说爱因斯坦在十二岁时也给出了一个证明，但后来发现这实际上不是一个原创的证明，而是来自《几何原本》第6卷第31命题。但早年对毕氏定理的痴迷让爱因斯坦在十年后获得成果：毕氏定理在他的狭义相对论中以四维的形式出现，并且扮演关键的角色；后来，在广义相对论中更以一般性的扩展形式出现。

关于勾股定理证明方法的书籍

迄今为止，人们对于勾股定理已经提出了400多种不同的证明。数学的魅力不仅在于证明一个猜想，对已知定理提出新证明始终是一个挑战。中世纪时期，学生想要获得数学学位，需要对勾股定理提出一个原创的新证明。我国恢复高考后，1979年的高考数学题目之一就是证明勾股定理。据说当年只有1%的考生答对这道题。

2.引发第一次数学危机

我的报告的第二部分是：第一次数学危机，这个危机的来源就在于勾股定理。

毕达哥拉斯学派的理念是“万物皆数”。认为：

宇宙的和谐在于数

神以数的规律创造世界

世间一切事物都可以是数和数的比例

（有理数之外）世间再无其他数

毕达哥拉斯学派弟子希帕索斯

公元前500年，毕达哥拉斯学派弟子希帕索斯发现：两直角边为1的三角形斜边长度（即我们今天称之为 √2 ），它不是个有理数。这与毕氏学派“万物皆数”(有理数)的哲理大相径庭，帕索斯因此被囚禁，受百般折磨，最后被沉舟处死。

那√2它到底是什么？

①是两直角边长度为1的等腰直角三角形的斜边长度

②是正方形对角线长度与其边长之比

其算术特性也可以总结为如下两点：

①无法表示为两整数的比值

②是一个无限不循环小数

从n-1的平方根做出n的平方根

人们进一步发现，根据勾股定理，可以在此基础上很容易做出长度为√3,…,√n的线段。除了恰好遇到平方数n之外，都一样无法表示为两整数的比值，而是无限不循环小数。

今天我们知道，这些数都叫做无理数。任意两个有理数之间都可以插入无穷多个无理数、任意两个无理数之间都可以插入无穷多个有理数。

德国数学家戴德金

围绕无理数持续了2000多年的研究和讨论，直到19世纪，德国数学家戴德金给出了无理数系统的定义，才算是终结了由无理数引起的第一次数学危机。

勾股定理与大家熟知的另外一个无理数的计算也密切相关，那就是圆周率。尽管人们很早就意识到π的存在，但是直到1761年，才由瑞士科学家兰伯特给出了π是无理数的证明。

阿基米德计算圆周率方法

你古希腊阿基米德首次提出了一种能够借助数学过程把π的值精确到任意精度的方法：圆的周长必然大于其内接正多边形的周长，而小于其外切正多边形的周长。根据这一原理，可以不断提高圆周率的近似计算的精度。

阿基米德利用正96边形得到：圆周率的近似值在3.1408到3.1429之间。而他在求多边形边长时反复使用了勾股定理。

割圆术背后的勾股定理

我国魏晋时期的数学家刘徽，也提出了计算圆周率的近似值的方法，即割圆术，其思想是利用单位圆的内接正多边形的面积来逼近圆周率，背后的数学原理就是勾股定理。

通过两次使用勾股定理，就可以建立如上图所示的迭代公式：由圆内接正n边形的边长AB的值，就可以计算出圆内接正2n边形的边长AC。反复迭代，当边数足够多时，圆内接正多边形的面积就不断逼近圆周率。

刘徽割圆为正3072边形，求得：π≈3.1416。南北朝时期数学家祖冲之则进一步割圆为正24576边形求得：3. ＜ π ＜ 3.。这一结果领先西方近1000年。

总之，从勾股定理到第一次数学危机的出现，再到无理数的讨论，是一个漫长的艰苦卓绝的故事。

3.架起数与形的桥梁

勾股定理刻画的是平面上直角三角形三边长度之间的关系。进一步深入思考后，我们发现它跟十五世纪才出现的平面直角坐标系有很多相似之处：如果将两条直角边向两边延长为带方向的直线记为x轴和y轴，并且就以直角顶点为坐标原点O，这不就是平面直角坐标系吗？此时，两直角边则分别就是斜边到x轴和y轴的投影。

法国物理学家、数学家、哲学家笛卡尔

传说笛卡尔是受到挂在墙角的蜘蛛网的启发，提出了平面直角坐标系。

有了平面直角坐标系，我们就可以很容易计算平面上任意两点之间的距离。假设平面上两点的平面坐标分别为(x1,y1)和(x2,y2)。它们各自都向x轴和y轴做垂线，并连接这两点后，如图所示，就得到一个直角三角形，根据勾股定理，很容易得到这两点间的距离公式。

平面上两点间距离公式

二维平面上两点间的距离公式也很容易向三维空间推广，其背后的数学原理仍然是勾股定理。

三维空间两点间距离公式

直角坐标系的创建，使得几何问题可以用代数方法求解，从此解析几何诞生，更为微积分的创立奠定了基础，从而开拓了变量数学的广阔领域。

勾股定理是联系数学中数与形的第一定理，坐标系的建立更使数与形密不可分。

4.引发费马猜想及其证明

与勾股定理紧密相关的另外一个概念就是所谓的勾股数，即满足a2+b2=c2的三个正整数。例如，(3,4,5) 和 (5,12,13) 都是勾股数。那到底有多少组勾股数呢？今天我们已经知道：有无穷组勾股数。然而，在古代，寻找勾股数是一件不平凡的事情。

法国数学家费马

1637年左右，法国数学家费马思考了一个看起来跟勾股数很类似的问题：有没有满足a3+b3=c3的三个正整数呢？进一步，有没有满足a4+b4=c4、或者更一般地 an+bn=cn (n>2) 的正整数(a,b,c)呢？

我们不妨先尝试一下a3+b3=c3的情形。每个立方数都对应于一个正立方体的体积，不妨来尝试能否用“搬砖”的思想，看看能否把两个正立方体搬移堆积成另外一个立方体？

以边长为6和8的正立方体（63=216；83=512）为例，结果我们发现，这些“砖块”要堆成边长为9的正立方体（93=729）还缺了一块转。无论怎么搬，都不行。那么，这种不可能是否具有普遍意义呢？

费马当年是否做过很多这种徒劳的搬砖尝试，后人能知道的仅仅是这样一个故事：费马在阅读古希腊数学家丢番图的《算术》一书的页边上写道：“将一个立方数分成两个立方数之和，或一个四次幂分成两个四次幂之和，或更一般地将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和，这是不可能的。关于此，我确信已发现了一种美妙的证法，可惜这里空白的地方太小，写不下。”

这就是著名的费马猜想，即当n>2时，xn+yn=zn无非零整数解。

从勾股数进而提出费马的疑问和猜想，起点看似平凡，但是费马猜想的伟大之处在于：它难倒了一大批伟大的数学家，挑战了后世整整358年！它的证明过程就是一部数学史，产生了许多新的数学思想和方法。

费马大定理的证明历史年表

这里，我们列出了费马大定理的证明历史年表。可以说是群星闪耀！许多伟大的数学家都曾经证明了费马大定理的一些特殊情形。

自1637年费马提出费马猜想，到1839年，在这整整200年的时间里：欧拉证明了n=3的情形，勒让德证明了n=5的情形，拉姆证明了n=7的情形，狄利克雷证明了n=14的情形。

这每一位数学家的名字都如雷贯耳，然而，他们也只能针对单个的比较小的n，回答费马猜想的特殊情形。

直到1850年，库默尔证明了费马猜想的一组情形：对于n从3到100，除了3个特殊的数之外，其余情形下费马猜想都成立。

又过了大约100年，人类进入了电子计算机时代，费马猜想的验证也随之进入了计算机验证的时代。在1987年，格朗维尔用电脑验证了从3到1亿之间的n，费马猜想均成立。

然而，我们知道，即使验证费马成立的指数n再多，也不能取代理论上的证明。对于费马定理严格的理论上的证明的追求，依然是许多一流数学家的梦想。

终于，在1995年，怀尔斯证明了费马猜想对于大于2的所有正整数n成立！

1993年6月，安德鲁·怀尔斯在英国剑桥大学做了一系列报告。报告题目并不引入注意，论证过程冗长且技巧性很强。但到第三次演讲进行20分钟后，他轻描淡写的打出了五个符号：“=>FLT”。含义是：我前面的证明推出费马大定理（也称为费马最后的定理，Fermat‘s Last Theorem）。

英国数学家怀尔斯

这件事立即震撼了整个数学界，怀尔斯一时之间名声大噪。随后，怀尔斯向世界顶级数学期刊Inventiones Mathematicae提交了长达200页的证明。期刊编辑部安排了6位顶尖的数学家担任审稿任务。其中，一位名叫Katz的审稿人找到了证明中的一个逻辑缺陷。

起初，怀尔斯以为这个缺陷很容易修复。但当他着手修复缺陷时，长时间没有进展。直到1994年9月，怀尔斯在他的学生Taylor的帮助下，才修复了证明中的漏洞。1995年5月，怀尔斯在国际顶尖期刊《数学年刊》上发布了集合所有工作的证明，最终的证明和附带的讨论长达130页。

1995年怀尔斯发表完整证明

1998年，怀尔斯因为这一杰出的工作获得菲尔茨特别奖。

怀尔斯为什么能如此成功？也许答案就是四个字：不忘初心！怀尔斯10岁的时候就对费马大定理感兴趣！在他证明了费马大定理之后，曾这样说道：“……再没有别的问题能像费马大定理一样对我有同样的意义。我拥有如此少有的特权，在我的成年时期实现我童年的梦想……那段特殊漫长的探索已经结束了，我的心已归于平静。”

回过头来，我们再来思考一下费马在1637年提出猜想时所说的话：“我确信已发现了一种美妙的证法 ，可惜这里空白的地方太小，写不下。”

一定会有人问：费马当年所说的没有写出来的证明有没有可能就是怀尔斯的证明呢？唯一合理的答案是“NO”。怀尔斯使用了最新的数学工具和思想来证明费马大定理，这些工具和思想都远远晚于费马时代。大多数数学家认为费马当年所确信的证明方法，很有可能是错的，只是迷惑了他自己而已。

吴军《数学通识50讲》中曾这样评价费马大定理的证明：“这个定理的证明过程本身导致了很多数学研究成果的出现，特别是对于椭圆方程的研究。今天区块链技术用到的椭圆加密方法，就是以它为基础的。”

日本数学家谷山丰

费马大定理证明过程孕育了椭圆曲线理论：上世纪50年代，日本数学家谷山丰等人建立了椭圆曲线与模曲线之间的关联，使“费马大定理”的证明向前迈进了一步；然而，1958年，不到31岁的谷山丰却选择了自杀。1985年，密码学家Neal Koblitz和Victor Miller分别独立提出了椭圆曲线密码；今天，椭圆曲线密码已经成为比特币等基于区块链技术的密码货币的底层数学基础。

由于比特币发明人中本聪至今未显“庐山真面目”，中本聪提出比特币的背后思想动机也被大家猜来猜去。美国纽约州立大学石溪分校计算机系终身教授顾险峰在《浅谈比特币数学原理》一文中曾这样说：“老顾一直倾向于认为中本聪是出于对谷山丰的致敬而发明了比特币协议。谷山壮志难酬而慷慨蹈海，中本聪为之扼腕痛惜，发愤将谷山的椭圆曲线理论在金融领域发挥得淋漓尽致，让整个人类为之痴狂。”

谢谢大家！

【主要参考资料】

1. EliMaor著, 林炎全等译：《毕氏定理：四千年》，三民书局，2017

2. 吴军《数学通识50讲》

3. 西蒙.辛格著，薛密译：《费马大定理——一个困惑了世间智者358年的迷》，广西师范大学出版社，2013

4. 盛立人等编著，《从勾股定理谈起》，中国科学技术大学出版社，2012年。

5. Julian Havil著，程晓亮译：《无理数的那些事儿》，机械工业出版社，2019年

6.百度百科 https://baike.baidu.com/

7.Peter Brown著，潘磊译: 《How maths most famous proof nearly broke up》