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组合数的计算有好多方法,我慢慢填坑2333
1.$C_{n}^{k}=\frac{n-k+1}{k}C_{n}^{k-1}$
Proof:
$$C_{n}^{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}=\frac{n-k+1}{k}*\frac{n!}{(k-1)!(n-k+1)!}=\frac{n-k+1}{k}C_{n}^{k-1}.$$
利用此结论可非常快速有效的计算一个组合数了。
下给出代码:计算$C_{n}^{k}$(实际操作可将ans换成long long型)
1 int ans=1; 2 for(int i=1;i<=k;i++) { 3 ans=ans*(n-i+1)/i; 4 } 5 printf("%d\n",ans);
2.$C_{n}^{k}=C_{n-1}^{k}+C_{n-1}^{k-1}$
证明是非常简单的,只要把相应的组合数进行展开即可:
Proof:
也可以简单的这样想:班级里有$n$个学生,班主任现在要找$k$个人去搬书,易见总共有$C_{n}^{k}$种选人方法,而所有的方法里可以分为两种:选有班长的和不选班长的.选了班长的情况下就是从$n-1$个人中再选$k-1$个人,不选班长的情况就是从$n-1$个人中选$k$个人.两种情况方案数加起来就是结果.
下给出这种方法实现组合数的代码:
1 typedef long long ll; 2 const ll mod=1e9+7; 3 ll C[1005][1005]; 4 void init() 5 { 6 C[0][0]=1; 7 for(int i=1;i<=1000;i++) { 8 for(int j=0;j<=1000;j++) { 9 if(!j) C[i][j]=1; 10 else { 11 C[i][j]=(C[i-1][j]+C[i-1][j-1])%mod; 12 } 13 } 14 } 15 }
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