数与代数之十进制

一．概念描述

现代数学：十进制是当今世界各国通用的记数进位制。在计数时，每相邻两个单位之间的进率都是十，即逢十进一的法则，称为十进制。我国古代和古希腊都是采用十进制来计数和记数。现在世界通用的数字是印度—阿拉伯数字，即以0，1，2，3，4，5，6，7，8，9十个数字记数。在计算时逢十进一，即低位上的数大于或等于10而小于20时往高位上加1，低位上的数大于或等于10而小于30时往高位上加2，以此类推。采用十进制计数法的数，称为十进制数或十进数。在数的使用中涉及不同进位制时，为了区别它们，常用符号“( )₁₀”表示十进数。十进数可以同其他进制的数（如二进数、八进数）互化。

小学数学：小学数学教材对十进制给出了明确定义：每相邻的两个计数单位之间的进率都是十，这种计数方法叫作十进制计数法。

二．概念解读

在历史上，曾经出现过以2、3、4为原始的数基，但比较多的还是以5、10、20、60为数基，即五进制、十进制、二十进制、六十进制。最多的是以10为数基，即现在世界各国通用的十进制，亦即“满十进一”的方法。当然在计算机时代，二进制也发挥了巨大的作用。

古巴比伦的记数法虽有位值制的意义，但它采用的是六十进位，计算非常繁琐。古埃及的数系具有简单、淳朴的风格，从一到十只有两个数字符号，从一百到一千万有四个数字符号，而且这些符号都是象形的，如用一只鸟表示十万。其他数用这些符号累加起来表示，虽然用十进记数法，但不是位值制。古希腊由于几何发达，因而轻视计算，记数方法落后，是用全部希腊字母来表示一到一万的数字，字母不够用了就用加符号“‘”等方法来补充。古罗马创建的数系与古埃及数系有许多相似之处，采用的是累积法，如用ccc表示300。古代印度既有用字母表示法，又有累计法，到公元7世纪时方采用十进位值制，这很可能是受到我国的影像。现通用的印度—阿拉伯数字和记数法，大约10世纪才传到欧洲。

十进位值值，是中国的一大发明。从商代陶文和甲骨文中，可以看到当时已能够用一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、百、千、万这十三个单字，记十万以内的任何自然数。其记数法是按照十进制的方法来记数的，并且已经采用了位值制记数法，这在世界数学史上有重大意义。正如著名的英国科学史学家李约瑟博士所指出的那样：“如果没有这种十进位制，就不可能出现我们现在这个统一化的世界了。”《孙子算经》中记载“凡算之法，先识其位。一纵十横，百立千僵，千十相望，万千相当”，介绍的就是用算筹记数的方法。即个位用纵式，十位用横式，以此类推的“纵横相间”，遇到零时，留个空位。显然，任何自然数都可以用算筹表示出来，而且这是一种十进位值记数法—既“逢十进一”，又按位置表示不同的数值。它比古巴比伦的六十进位制方便，比古希腊、古罗马的十进非位值制先进。有学者认为“印度—阿拉伯数字的制造，借鉴于中国古代的十进位值制记数法”。马克思也称中国的十进位值制是“最妙的发明之一”。

但我国的算筹记数方法也有一大缺点，就是没有表示“0”的算筹。若表示没有时，就用“空位”表示，事实上这在进行筹算时很容易混淆。直到数字“0”发明后，十进位值制的印度—阿拉伯数系才成为当前最完备的记数系统。

三．教学建议

(1)结合生活实例引出进制

十进位值制是数认识教学中的一个核心概念，它本身比较抽象，不利于学生理解、掌握。教学时，教师应结合生活实例，让学生亲身经历十进制产生的过程，体会十进位值制的本质特征。教师可以通过问题串让学生了解到生活中不仅有很多的事情和进制有关，而且进制不同。比如，通过提问“半斤八两”的含义，让学生了解到古人的1斤是16两，故“半斤”就等于“八两”—实质上用的就是十六进制。进而，教师可以再请学生想一想：生活中还有哪些数值和进制有关？学生会根据自己的生活经验发现：1年等于12月—实质是十二进制；1分等于60秒，1小时等于60分—实质是六十进制；1米等于10分米，1分米等于10厘米—实质是十进制。这些实例的引出，不仅让学生对数学知识产生一种亲切感，而且体会到生活中有很多事离不开进制。

(2)加强直观操作，加深对十进制的理解

为了帮助学生更好地体会十进位值制的意义，教学时，可以借助实物（如手）、直观模型（如小棒、方块、计数器数轴）等来加深理解，特别是要鼓励学生操作“直观模型”加以体会。比如对20以内数的认识，学生将正式开始由逐一计数到按群计数，学习“1个十相当于10个一”。这时要鼓励学生操作小棒，把10根小棒捆在一起当作“1个十”，并将这1捆小棒对应于计数器十位上的1颗珠子，使学生初步体会位值原理。

(3)感受十进制计数法的价值

在古代文明中，世界各国计数的规则大多采用“十进制”，如中国、古罗马。但十进位计数法离十进位值制还有关键的一步“位值制”要走。所谓“位值制”，就是指相同的计数符号由于所处的位置不同可以表示大小不同的数。有了位值制，就可以用有限的数字表示无限的自然数，这是计数历史上的一个创造，一个奇迹。

自然数的计数法是十进位值制。在小学阶段，对于它的学习，教材安排了多个年级。作为教师，首先要了解每个年级的具体要求，即20以内数的认识，要按群计数，认识到10个一是1个十：100以内数的认识，要认识到10个一是1个十，10个十是1个百，相同的数字0在不同数位上表示的数是不同的；万以内数的认识，要学习新的数位，认识新的计数单位，体会相邻计数单位间的十进关系，进而将“个缀”扩充到“万级”、“亿级”等，完整学习表示所有自然数的方法。还要了解小数的知识：认识小数的计数方法—计数单位、进率。其次，可以将“数的产生”和“十进制计数法”贯穿在数的发展历史的大背景中，让学生自主完成关于数知识体系的建构。同时，使学生在学会计数的过程中，感受十进位值制的伟大之处。

四．推荐阅读

(1)《小学数学教学策略》（张丹，北京师范大学出版社，2010）

该书从“数与代数”内容的“核心词”、数的意义的教学策略、数的表示的教学策略三方面进行了较翔实的介绍。

(2)《数学思想概论—数量与数量关系的抽象》（史宁中，东北师范大学出版社，2008）

该书第一讲和第二讲从数量的本质，十进制记数系统的抽象过程，各种进位记数及其分析，数的性质及其研究历程对数的表示和数的性质两方面进行了较翔实的介绍。