一、初中数学竞赛大纲

1、数

整数及进位制表示法，整除性及其判定；素数和合数，最大公约数与最小公倍数；奇数和偶数，奇偶性分析；带余除法和利用余数分类；完全平方数；因数分解的表示法，约数个数的计算；有理数的概念及表示法，无理数，实数，有理数和实数四则运算的封闭性。

2、代数式

综合除法、余式定理；因式分解；拆项、添项、配方、待定系数法；对称式和轮换对称式；整式、分工、根式的恒等变形；恒等式的证明。

3、方程和不等式

含字母系数的一元一次方程、一元二次方程的解法，一元二次方程根的分布；含绝对值的一元一次方程、一元二次方程的解法；含字母系数的一元一次不等式的解法，一元二次不等式的解法；含绝对值的一元一次不等式；简单的多元方程组；简单的不定方程（组）。

4、函数

二次函数在给定区间上的最值，简单分工函数的最值；含字母系数的二次函数。

5、几何

三角形中的边角之间的不等关系；面积及等积变换；三角形中的边角之间的不等关系；面积及等积变换；三角形的心（内心、外心、垂心、重心）及其性质；相似形的概念和性质；圆，四点共圆，圆幂定理；四种命题及其关系。

6、逻辑推理问题

抽屉原理及其简单应用；简单的组合问题简单的逻辑推理问题，反证法；极端原理的简单应用；枚举法及其简单应用。

二、高中数学竞赛大纲

全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。

全国高中数学联赛加试

全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是：

1.平面几何

几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。几何不等式。几何极值问题。几何中的变换：对称、平移、旋转。圆的幂和根轴。面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。

2.代数

周期函数，带绝对值的函数。三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。

第二数学归纳法。平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。

复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。

n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。

函数迭代，简单的函数方程*

3.初等数论

同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。

4.组合问题

圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。组合计数，组合几何。抽屉原理。容斥原理。极端原理。图论问题。集合的划分。覆盖。平面凸集、凸包及应用*。

注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。

全国初中数学竞赛（简称初联）是竞赛的起点，也是基础。有家长问没有经过初联，现在自主招生加分率提高了，能不能进入全国初中数学竞赛（简称高联），林根老师明确地告诉你：这不可以。不是不能报名，而是根本没有获胜的可能，下面来看一下林根老师对竞赛大纲的解析：

一、全国高中数学联赛

联赛分为一试、加试（即俗称的“二试”）。各个省份自己组织的“初赛”、“初试”、“复赛”等等，都不是正式的全国联赛名称及程序。一试和加试均在每年10月中旬的第一个周日举行。2016年的全国高联委托湖南的雅礼中学举办，有关题目头条号《林根数学》有的原题和解答，感兴趣的话，可以翻翻看。

1.一试

考试时间为上午8：00-9：20，共80分钟。试题分填空题和解答题两部分，满分120分。其中填空题8道，每题8分；解答题3道，分别为16分、20分、20分。

全国高中数学联赛的一试竞赛大纲，完全按照全日制中学《数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，即高考所规定的知识范围和方法，在方法的要求上略有提高，其中概率和微积分初步不作为考点。

也就是说，你只要掌握了差不多达到高考的知识点，通过初试应该没有问题，所以在传统的竞赛学校，比如：黄冈中学，青岛二中，都有专门的搞竞赛的班子，青岛二中有个徐老师曾培养一个IMO的金牌学生，为此市政府奖励了一套住房。

2.加试（二试）

考试时间为9：40-12：10，共150分钟。试题为四道解答题，前两道每题40分，后两道每题50分，满分180分。试题内容涵盖平面几何、代数、数论、组合数学等。

1、平面几何基本要求：掌握高中数学竞赛大纲所确定的所有内容。

这个只是宽泛的说法，具体来说要求：面积和面积方法。

几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和最小的点–费马点。

三角形的四心，心距公式。

几何不等式：外林比克不等式，匹多不等式，纽贝格不等式。

等周问题。

几何变换：反射、平移、旋转。

复数、向量方法。

平面凸集、凸包及应用。

2、代数在一试大纲的基础上，还要求掌握的内容：

周期函数与周期。

绝对值函数的图像及性质。

三角恒等式（二倍角、三倍角公式）。

三角不等式。

第一、第二数学归纳法。

一阶、二阶、分式递归数列（特征根法）。

函数迭代，求n次迭代，简单的函数方程。

n个变元的平均不等式，柯西不等式，排序不等式及应用。

复数的指数形式，欧拉公式，棣莫佛定理，单位根，单位根的应用。

圆排列，有重复的排列与组合，简单的组合恒等式。

一元n次方程（多项式）根的个数，韦达定理，实系数方程有n个根且复根成对出现。

初等数论问题，包括求出所有的勾股数（参见《林根数学》”你能求出x2+y2=z2的所有解吗”）无穷递降法，同余，欧几里得除法，非负最小完全剩余类，高斯函数，费马小定理（欧拉函数），威尔逊定理，孙子定理，整点问题。

3、立体几何三面角（多面角）。三面角、直三面角的基本性质。正多面体，欧拉定理。体积证法。截面，已知三点会作截面、表面展开图。

4、平面解析几何除了直线的五种形式之外，还要求掌握直线的法线式，直线的极坐标方程，直线束及其应用。简单的线性规划。海伦公式求面积。圆锥曲线的切线和法线。圆的幂和根轴。

5、其它抽屉原理。容斥原理。极端原理。集合的划分。覆盖。梅涅劳斯定理及其逆定理，托勒密定理，西姆松定理。赛瓦定理及其逆定理。

中国数学奥林匹克（全国中学生数学冬令营）一般于每年元月举行。成绩最好的约60名选手6组成参加当年IMO的中国国家集训队。3月中旬至4月初，进行参加IMO的中国代表队的选拔工作。一般会选拔6名正式队员每年7月份参加IMO。但近年的中国IMO成绩在走下坡路，已连续两年被美国超越。并且中国的竞赛队员出名后选择研究纯数学的不多，大多转入经济类了。不过造化弄人，比如陈景润之子陈由伟，由于妈妈由昆深知数学家的辛苦和无趣，从小就不让陈由伟参加数学竞赛，后来到加拿大留学取得经济学学位，但回国后却爱上的数学，现在在读数学博士。不得不感叹基因的强大啊！

冬令营邀请各省、自治区、直辖市全国高中数学联赛中的优胜者，以及香港、澳门、俄罗斯、新加坡等代表队参加，人数200人左右，分配原则是每省市区至少三人，然后设立分数线择优选取。冬令营为期5天，第一天为开幕式，第二、第三天考试，第四天学术报告或参观游览，第五天闭幕式，宣布考试成绩和颁奖。

CMO考试完全模拟IMO进行，每天3道题，限四个半小时完成。每题21分（IMO试题每题7分），6个题满分为126分。题目难度较国际数学奥林匹克为高，技术性极强。颁奖与IMO类似，设立一、二、三等奖，分数最高的约前30名选手将组成参加当年国际数学奥林匹克（International Mathematical Olympiad,简称IMO）的中国国家集训队。 获奖选手都可以取得北京大学、清华大学、中国科技大学、浙江大学等学校点招录取。

从1991年起，全国中学生数学冬令营正式命名为中国数学奥林匹克（Chinese Mathematical Olympiad,简称CMO）。一般来说，不参加CMO，是不可能在数学竞赛中冲出来的。也就是说，清北的选择点招的学生是严重与CMO挂钩的！

IMO的试题不局限于中学数学的内容，它会延伸到大一的基本部分，现在试题难度也越来越大。但主要为数论、组合数学、数列、不等式、函数方程和几何等。在其中最难的几块是：数论、组合数学、几何不等式。

这也是有些学校的竞赛班子为什么要在高一就得讲完高中的全课程，然后剩下的时间就是主攻大学的基础内容和数学竞赛的技巧和方法。比如林根老师辅导的一名四中的学生几何中就讲到了重心坐标，代数中就讲到了欧拉恒等式的证明。

下面是林根老师统计的近几年IMO选手选择的大学：

看到了吧，为什么说北大的数学系是全国最好的数系了吧？有的年份，IMO的选手全部选了北大数学系，比如说第38届IMO的6名选手全部获得了金牌，并全部选择了北大数学系，其中就包括青岛二中的孙晓明。当然有少部分学生在高二甚至高一就参加了IMO并获得奖牌，对他们来说也是前程无量啊！比较出名的就是那个被排在世界所有人智商前10位的陶哲轩，他年仅10岁就获得了IMO奖牌，真是奇才啊！（详细情况请参阅头条号《自古天才出少年–数学尤其如此》）

从历届菲尔兹奖的获奖人数来看，中国还差得好远：因为还没有实现零的突破！

真正有志于IMO的要真的趁早，不信，拿一道刚刚考过的IMO试题看看会不会？

林根数学，专注初高中数学辅导，全国清北自主招生讲座巡讲上百场，使一大批学生获得清北自主招生加分，帮助他们圆了清华、北大梦。

《林根数学》资料：

1.《高考数学全观》（上、下）（高考第一轮）教案及学案

2.《高考数学重观》（高考第二轮）教案及学案

3.《清北数学高观》教案及学案

4.《中考数学微观》教案及学案

5.人教版必修1—5全套教案及学案

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