几何基本知识(一)

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几何基本知识（一）

1．线段、角

1.1几何图形

〔几何图形〕许多物体，如果不管它们的其他物质（如颜色、重量、材料等），只注意它们的形状（如方的、圆的等等），大小（如长度、面积等），位置（如在内或在外、相交不相交等），就得到各种几何图形（简称图形）。体、面、线、点，都是几何图形，几何图形是几何学研究的对象——图形的总称。

〔体〕 从方砖得到的图形是长方体，圆罐得到的图形是圆柱体，足球得到的图形是球体。长方体、圆柱体、球体等等，都是体。

〔面〕方砖、圆罐、足球都有表面。包围着体的是面。

〔线〕面与面交接的地方，形成线。线只有长度而无宽度。〔点〕线与线相交的部分，形成点。

〔平面〕如平静的水面、黑板面那样的面。但平面是向四周无限延展着的。

〔平面图形〕都在同一个平面内的图形是平面图形。

〔立体图形〕不都在同一个平面内的图形是立体图形。

1.2直线、射线、线段

〔直线〕 一根拉得很紧的线给出了直线的形象。

说明

(1）几何学中的直线，是向两边无限延伸的，没有端点。

(2）如图3-1-1表示一条直线，可以记做直线 AB ，也可以记做直线 L。

图3-1-1

〔直线的公理〕经过两点有一条直线，并且只有一条直线。

说明

上述公理可以简单说成：过两点有且只有一条直线。

例 平面上有十个点，过其中每两个点画直线，最多可以画出几条直线。

分析 所谓最多能画几条直线，指的是十个点中没有三点在一直线上的情形，经过每一点都可画九条直线，这样的点共有十个，故10×9=90，但每一条直线都被计算了两次，因此总数减半即可。

解 设十个点为A₁,A₂,…,A10.

则过 A₁的直线有 A₁、A₂、A₃ …、A10 共9条，过A2的直线为A₂、 A₃ ,A4,…,A10。也是9条。同理过每一点都有9条直线，共10×9=90,但 A₁A₂与A₂A₁ ，是同一条直线，同理其他每条直线也都被重复计数，所以这样的直线为45条。即过平面上十点最多可以画45条直线。

如果经过平面上 n 个点，最多可以画½n(n-1)条直线。

〔两条直线相交〕如果两条不同的直线有一个公共点，就称这两条直线相交，这个公共点叫做它们的交点，这两条直线称为相交直线。

说明

“如果两条不同的直线有一个公共点”包含两层意思：一是有一个公共点，另一是对于两条不同直线而言的。如果缺了“不同”两字，可出现无数个公共点的情景，那就不一定相交了。

〔直线的基本性质〕 两条直线相交只有一个交点，这个命题可以用反证法证明。

说明

两条不同的直线不可能有两个或更多的交点。例同一平面内有8个点，过其中每两个点画直线，最多可以画出几条直线？如果同一平面上有8条直线，最多有几个交点？

分析 所谓最多能画几条直线，指的是8个点中没有三点在同一直线上的情形。经过每点都可以画7条直线，这样的点共有八个，所以8×7=56，但每一条直线都被计算两次，因此总数减半。

同一平面内两条直线最多有一个交点，再添上一条直线最多添上两个交点，再添一条直线最多又添上三个交点，依次类推直到第八条直线为止，当第八条直线添上时，最多可添上七个交点（与前面七条直线都有新的交点），所以把这些交点数相加即可。

解 设八个点为M₁,M₂,…, M8 ，过 M₁的直线有M₁M₂,M₂M₃,…,M₁M8共7条，过M2的直线是M2M1,M2M3,…,M2M8也是7条，依次类推过每一点都有7条直线，共8×7=56条。但 M1M2与M2M1，是同一条直线，同理其他每条直线也都被重复计数，所以这样的直线是28条，即过同一平面内八个点最多可以画28条直线。

而在同一平面内任意画一条直线，然后添上一条直线最多有一个交点；放第三条时最多与前两条都相交，得到两个交点，……，放第八条时最多加上7个交点，所以八条直线最多有交点数1+2+3+▪▪▪+7=28.

点评

(1）在同一平面内，如果设有三个点在同一直线上的情形，那么n个点最多可以画½n ( n -1）条直线。

(2）在同一平面内任意两条直线都有交点，而任意三条直线（或三条以上直线）都不交于同一点时，交点数最多。

(3）如果平面上有 n 条直线，可以得到最多的交点数是½n( n -1）个交点。

〔射线〕直线上一点和它一旁的部分叫做射线，这个点叫做射线的端点。如图3-1-2

说明

(1）射线是向一方无限延伸的。

(2）如果用字母0表示射线的端点， A 表示射线上任意一点，那么射线可以表示为 OA ，但不可以表示为 AO ，射线也可以用一个小写字母表示。

例 如图3-1-3分别以A1,A2,A3,A4, A5 为端点的射线有几条。

分析 直线上任意取一点为端点，指向两侧就有两条射线。

解 以A1为端点有两条射线。对于A2,A3,A4, A5 点也同样，所以共有10条射线。

点评

(1）射线 A1A2,A1A3, A1A4 , A1A5 表示同一条射线。但射线 A1A2和A2A1，表示两条不同的射线。

(2）以直线上任意 n 个点（n 是正整数）为端点的射线共有2n条。

〔线段〕直线上两个点和它们之间的部分叫做线段。这两个点叫做线段的端点。

如图3-1-4:

说明

(1）线段用它的两个端点的大写字母来表示，或用一个小写字母表示。线段 AB 与线段 BA 表示同一条线段。

(2）直线本来就是向两方无限延伸的，因此不能再延长直线；射线是向一方无限延伸的，因此射线不能再延长，但射线可以“反向延长”；而对于线段，两方都有端点，因此可以向两方延长，延长线段 AB ( BA ）即反向延长线段 BA ( AB ).

例 直线 L 上有 n 个点，以A1,A2,…, An 为端点的线段共有多少条？

分析 以A1为端点的线段有 n -1条，以A2为端点的线段也有 n -1条，……以An为端点的线段也有 n -1条，但这里每条线段都被计算两次，所以总数除以2即可。

解 以A1,A2,…,An为端点的线段共有½×n×( n -1)=½n(n-1)条.

点评 平面上 n 个点最多可确定½n(n-1）条直线，直线上n个点可以得½n(n-1）条线段；平面上 n 条直线最多可以得到½n(n -1）个交点，这三者之间存在着密切的联系。

〔线段大小的比较〕 比较两条线段 AB ,CD 的长短，可以把它们移到同一条直线上，使一个端点 A 和 C 重合，另一个端点 B 和 D 落在 A 和 C 的同侧（图3-1-5)。

如果点D和 B 重合（图3-1-5(1))，就说线段 AB 和CD相等，记做AB = CD ．如果点 D 在线段 AB 上（图3-1-5(2))，就说线段 AB 大于 CD ，记做 AB > CD ．如果点 D 在线段 AB 外（图3-1-5(3))，就说线段 AB 小于 CD ，记做 AB < CD .

〔线段的和与差〕 设线段 a > b ，在直线上画线段 AB = a ，再在 AB 的延长线上画线段 BC = b ，线段 AC 就是 a 与 b 的和，记做 AC = a + b .

如果在线段 AB 上画线段 BD = b ，那么线段 AD 就是 a 与 b 的差，记做 AD = a – b .

〔线段的中点〕 如图3-1-6，点 B把线段 AC 分成两条相等的线段，点 B 叫做线段 AC 的中点。这时就有 AC =2AB，并且点 B 叫做线段AC的二等分点。

.A .B .C

图3-1-6

〔线段公理〕所有连接两点的线中，线段最短。或简单说成：两点之间，线段最短。

〔两点的距离〕连结两点的线段的长度，叫做这两点的距离。

说明

两点的距离是线段的长度，线段和线段的长度是两个不同的概念，线段是一个几何图形，线段的长度是刻画线段长短的一个量。

1.3角

〔角〕 有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边。

说明

(1）角的顶点用一大写字母（比如0）表示，两条射线上分别取一点 A ,B ,则角可以记做 ∠O 或 ∠AOB ．有时为了方便也可如图3-1-7记做∠1,∠a 等。

图3-1-7

(2）角也可以看成是一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。射线旋转时经过的平面部分是角的内部，旋转开始时的射线叫做角的始边，旋转终止时的射线叫做角的终边。

(3）角的大小由两边张开的程度决定而与画出的两边长短无关。

(4）角有不同的转向，通常把射线沿着逆时针方向转动所形成的角，叫做有正的转向的角，简称正向的角；射线沿着顺时针方向转动所形成的角，叫做有逆的转向的角，简称逆向的角。

〔平角〕一条射线绕着它的顶点旋转到与这条射线构成一条直线时，所成的角叫做平角。说明平角是两条方向恰好相反，又有共同顶点的两条射线组成的，一条直线不是平角。

〔周角〕一条射线绕着它的顶点旋转到与原来位置重合时所成的角叫做周角。

说明

(1）周角初看起来与一条射线一样，为了表示更明确，可以在顶点处用一小圆弧表示射线旋转的过程。

(2）平面几何中研究的角，没有特别说明的话，都是指还没有旋转到成为平角时所成的角。

〔角大小的比较〕要比较两个角的大小，例如比较∠ ABC 和∠ DEF 的大小，可以把它们叠合在一起。

如图3-1-8，把∠ DEF 移动，使它的顶点 E 移到和∠ ABC 的顶点 B 重合，一边 ED 和 BA 重合，另一边 EF 和 BC 落在 BA 的同旁。如果 EF 和 BC 重合（图3-1-8(1)),那么∠ DEF 等于∠ ABC ，记做∠ DEF =∠ ABC ；如果 EF 落在∠ ABC 的外部（图3-1-8(2))，那么∠ DEF 大于∠ ABC ,记做∠ DEF >∠ ABC ；如果 EF 落在∠ ABC 的内部（图3-1-8(3))，那么∠ DEF 小于∠ ABC ，记做∠ DEF < ∠ ABC .

〔两个角的和与差〕如图3-1-9(1)，设有两个角∠ 1和∠ 2(∠ 1>∠ 2)．把∠ 2移到∠ 1上，使它们的顶点重合，一边重合，当∠ 2移到∠ 1外部时（图3-1-9(2))，它们的另一边所成的角（如∠ ABC ）是它们的和，记做∠ ABC =∠ 1+∠ 2；当∠ 2在∠ 1的内部时（图3-1-9(3))，它们的另一边所成的角（如∠ DEF ）是它们的差，记做∠ DEF =∠ 1-∠ 2.

〔角的平分线〕 一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。

说明

(1）角的平分线是一条从角的顶点出发的射线。

(2）所谓的相等两角，是指能够完全重合的两个角。

例 如图3-1-10, ∠ AOF 是平角，∠ FOB =8/9直角， OC 是∠ AOB 的平分线， OD 是∠ COA 的平分线， OE 是∠ BOD 的平分线，求∠ AOB , ∠ EOC 的度数。

如图3-1-10

分析 根据直角与平角的关系，1平角＝2直角＝180º．求出∠ AOB 的度数，根据角平分线的意义及角的和差的意义求出∠ EOC .

解 由∠ AOF 是平角，∠ FOB =8/9直角，∠ FOB 和∠ AOB 互补，得到∠ AOB =100°

∵OC平分∠ AOB ，得到∠ AOC =50°

又∵OD 平分∠AOC

所以∠COD =25°,∠BOD =∠BOC +∠COD =75°

∵OE 平分∠BOD

∴∠EOD =37.5°

由此推得∠EOC =∠EOD -∠COD =37.5°-25°=12.5°

点评

(1）直角与平角、周角之间的关系如下：1周角＝2平角=4直角＝360°.

(2）角平分线的表达方法大致有三种，如∠AOB 被 OC平分（或 OC 是∠AOB 的平分线），可表示为∠AOC =∠BOC ,∠AOC =½∠AOB （或∠BOC =½∠AOB )，及∠AOB =2∠AOC（或∠AOB =2∠BOC).

〔直角〕平角的一半叫做直角。

说明

(1）平角的平分线把平角分成两个直角。

(2）直角与平角、周角之间的关系如下：

1直角＝90°;

1平角＝2直角＝180°;

1周角＝2平角＝4直角＝360。

〔锐角〕小于直角的角叫做锐角。说明若 a 是锐角，则0°< a <90°.

〔钝角〕大于直角而小于平角的角叫做钝角。

说明

若a是钝角则90°< a <180°．各种大小的角（如图3-1-11)

〔角的度量单位〕 把一个平角等分成180份，每一份就是1度的角，1度角记做1°.

角的另一种度量单位是弧度，弧长等于半径的弧称为1弧度的弧。1弧度的弧所对的圆心角称为1弧度的角。

1°=π/180（弧度）。

把1°的角等分成60份，每份叫做1分的角，1分记做1′；又把1′的角等分成60份，每份叫做1秒的角，1秒记做1″．因此有

1°=60′读做1度等于60分；

1′=60″读做1分等于60秒。

角的度、分、秒是60进制，这和计量时间的时、分、秒是一致的。

〔互为补角〕如果两个角的和是一个平角，这两个角叫做互为补角，也就是说其中一个角是另一个角的补角。（如图3-1-12(1))

说明

所谓互为补角简称互补，是指两个角之间的一个关系，而补角是指一个角，比如α与β互补，则α+β=180°, α是β的补角；反之若α+β=180°，则称 α与β互补。

〔互为余角〕如果两个角的和是一个直角，这两个角叫做互为余角，也就是说其中一个角是另一个角的余角。（如图3-1-12(2))

说明

所谓互为余角简称互余，是指两个角之间的一个关系，而补角是指一个角。比如α与β互余，则α+β=90°, α是β的余角，反之若α+β=90°，则称α与β互余。

〔补角的性质〕 同角或等角的补角相等。

说明

对于补角的性质，我们还可以反过来说，即若两个角的补角相等，那么这两个角也相等。

〔余角的性质〕同角或等角的余角相等。

说明

对于余角的性质，我们还可以后过来说即若两个角的余角相等，那么这两个角也相等。