矩阵卷积运算过程讲解

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在爬虫处理验证码的过程中接触到矩阵卷积运算，关于该类运算，记录一下自己的心得。

理论知识

在讲述卷积过程前，我们来了解一下卷积公式。根据离散二维卷积公式：

其中A为被卷积矩阵，K为卷积核，B为卷积结果，该公式中，三个矩阵的排序均从0开始。

现在对于上面卷积过程进行分析：我们用来做例子的 A 矩阵为 m×m(3×3)二维矩阵（被卷积矩阵），K 为 n×n(2×2)的二维矩阵（卷积核）。

1. 卷积核 K 矩阵翻转 180°，得到：
   

2. 被卷积矩阵扩展到(m+n)×(m+n)大小，将扩展部分用 0 代替，将卷积核 K 从左上角顺序地行移动，再换行，继续，直到抵达右下角。将对应元素相乘后相加。

3. 依次类推，剔除为 0 的元素，5×5 矩阵结果为 4×4 矩阵，卷积计算结束。
   

实际应用

关于卷积计算，在 Python 中存在于 scipy 的 signal 模块，这里需要介绍一下 scipy.signal.convolve2d 函数。

scipy.signal.convolve2d（in1，in2，mode ='full'，boundary ='fill'，fillvalue = 0 ）

• in1 : array_like 被卷积矩阵
• in2 : array_like 卷积核
• mode : str {‘full’, ‘valid’, ‘same’}, 可选 。其中 full 表示输出是输入的完全离散线性卷积（默认）；valid 表示输出仅包含那些不依赖于零填充的元素。在“有效”模式下，in1 或 in2 必须至少与每个维度中的另一个一样大。same 表示输出与 in1 的大小相同，以“完整”输出为中心。
• boundary ： str {‘fill’，‘wrap’，‘symm’}，可选，指示如何处理边界的标志。fill 表示使用 fillvalue 填充输入数组（默认）；wrap 表示圆形边界条件；symm 表示对称的边界条件。
• fillvalue ： 标量，可选。填充 pad 输入数组的值。默认值为 0。

from scipy import signal
import numpy as np

x = np.array([[1, 2],
              [3, 4]])

b = []
a = []
for i in range(1,10):
    if i%3 == 0:
        a.append(i)
        b.append(a)
        a = []
        continue
    else:
        a.append(i)
print(np.array(b))

h = np.array(b)

print(signal.convolve2d(h, x, mode='same'))
print(signal.convolve2d(h, x, mode='full'))
print(signal.convolve2d(h, x, mode='valid'))

输出结果为：

[[ 1  4  7]
 [ 7 23 33]
 [19 53 63]]
[[ 1  4  7  6]
 [ 7 23 33 24]
 [19 53 63 42]
 [21 52 59 36]]
[[23 33]
 [53 63]]

结合程序与图片分析，被卷积矩阵（m×m）和卷积核（n×n）做卷积运算时，当 scipy.signal.convolve2d 函数中 mode 参数值为 full（默认值）时，得到是完全卷积结果；当 mode 参数值为 valid 时，输出计算过程中没有扩充的 0 参与计算的值；当 mode 参数值为 same 时，输出与被卷积矩阵大小相同的矩阵，按照我的理解是，当卷积结果矩阵的大小（m+n -1）为偶数时，same 输出的矩阵从左上角按照 m 大小截取。当卷积结果矩阵的大小（m+n -1）为奇数时，same 输出的矩阵从正中间截取大小为 m d的矩阵。

注意：假如被卷积矩阵（3×3）和卷积核（3×3）做卷积运算时，6×6 矩阵扩充时，扩充结果如下：