高斯与他的学生们

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高斯画像 图片来源：Wikipedia

约翰·卡尔·弗里德里希·高斯（Johann Carl Friedrich Gauß，1777～1855）是世界上排名前三的伟大数学家，能与之相提并论的另外两位分别是阿基米德和牛顿。

1993年版德国10马克纸币正面印有高斯的头像

高斯一生在学术上有很多重要的贡献，可也有不足之处被人批评，那就是他不喜欢教学生，从他写的两封信中可见一斑。

1802年，高斯写信给奥尔伯斯说：“我真的不喜欢教课，……对真正有天赋的学生，他们绝不会依赖课堂上的传授，而必是自修自学的……做这种不值得感谢的工作，唯一的代价是浪费了宝贵的时间。”高斯的数学知识和成就都是依靠自学获得的，他认为有能力的学生也应该像他一样通过自学学习知识，这是他不愿教课的原因之一。

天才大师的成长经历

高斯的家乡在不伦瑞克（现为德国得克萨斯州的一部分），这所房子就是高斯出生的地方，在二战的时候被炸毁。图片来源：Wikipedia

1792年，年仅15岁的高斯到卡洛琳学院学习。他在3年的时间里通过阅读欧拉和勒让德等人的文章和著作学到了很多知识，也有很重要的发现：1791年，提出了算术几何平均；1792～1793年，研究过素数分布，提出了素数猜想；1794年，17岁的他就研究了最小二乘法，之后还常用此方法解决问题。

1795年，高斯进入著名的哥廷根大学学习，他研究了欧拉提出的二次互反律，并在1796年4月8日给出了第一个严格证明。19岁的他证明了正十七边形可用圆规和直尺作图。1801年，他的第一本著作《算术研究》出版了，此书被认为是现代数论研究的起点和数论的“宪章”。

1810年，高斯在给贝塞尔的信中说：“这个冬季我给3个学生开两门课。这3个学生当中，一个只是中等水平，另一个不到中等水平，第三个既没有水平又缺乏才能。这就是干数学这一行的负担。”从信中可看出高斯对学生的水平有多不满意。可他没有意识到，他本人是一个自学能力很强的天才，而大多数学生是普通人，需要有人授课和给予指导。

从高斯的成长经历，我们理解了他不喜欢教书的原因，同时也看到天才大师对学生的要求总是很高的。虽然高斯教的学生不多，可学生们并没有让老师失望，他的弟子都是非常优秀的数学家，这里只讲其中的三位。

狄利克雷：高斯数论思想的解读者和继承人

约翰·彼得·古斯塔夫·勒热纳·狄利克雷 图片来源：Wikipedia

约翰·彼得·古斯塔夫·勒热纳·狄利克雷（Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet，1805～1859）从小就喜欢学习数学，他把父母给他的零用钱用来买数学书。中学毕业时，父母希望他攻读法律，可他却偏要选择学习数学。当时德国的数学除了高斯很有名外，水平不及法国。得知高斯不喜欢教学，1822年，狄利克雷决定去巴黎上大学，因为那里有拉普拉斯、勒让德和傅里叶等一批大数学家。1828年，狄利克雷在柏林军事学院教书。他曾研究过费马猜想，证明了n＝5和n＝14。

由于高斯写的《算术研究》的思想太超前了，当时能读懂此书的人不多。但狄利克雷非常喜欢读这种有深刻思想的书，他总是把《算术研究》带在身边，一有空就认真研读。在反复读了很久之后，他领会了其中的精髓，写了一本《数论讲义》，用通俗易懂的语言把书中的理论讲给学生们听，使学生能够掌握。如果没有狄利克雷作讲解的话，高斯的那些深邃的思想是很难被更多的人认识和了解的。

狄利克雷不仅是高斯数论理论的传承人，而且他也有自己的创造。1837年，他证明了数论历史上的著名难题“给定任何两个整数a，b，如果a，b互素，那么由公式 f (n)＝an＋b生成的数列会包含无穷多个素数”，从而开创了解析数论。狄利克雷引进L函数和狄利克雷级数等一直是人们重点研究和关注的问题。他是继高斯之后，与卡尔·雅可比（Carl Gustav Jacob Jacobi）齐名的德国数学家。

1855年高斯去世后，狄利克雷被邀请到哥廷根大学作为高斯的继任者。1863年，狄利克雷的《数论讲义》由他的学生和朋友戴德金编辑出版了，这个讲义是对高斯《算术研究》的最好注释，同时也包含了他在数论方面的创造性成果，成为数论的经典著作之一。

德国数学家赫尔曼·闵可夫斯基（Hermann Minkowski）在纪念狄利克雷诞辰一百周年的演讲时说：“他掌握了把最多的看得见的思想和最少的盲目的公式连接起来的艺术。”历史和现实都证明了狄利克雷在数学史上有长存的意义。

黎曼：高斯赞赏他的成就

伯恩哈德·黎曼 图片来源：Wikipedia

伯恩哈德·黎曼（Bernhard Riemann，1826～1866）比高斯整整小50岁。当他来到哥廷根大学时，虽然69岁的高斯已经过了颠峰期，可他依然像是一个神灵，给黎曼留下了深刻的印象。黎曼听了高斯的线性代数课，也听了狄利克雷的数论、斯特恩的方程论以及韦伯的物理课，受到这几位老师深刻的影响。

黎曼的性格极为内向，很怕与人交往，因此他只与家人和一些数学家有来往。可在数学研究方面，他却表现得十分勇敢，有很多大胆的创新思想。他以物理学为背景创立了黎曼几何。他一生只发表了18篇文章，但每一篇都开辟了新的研究领域。他开创了复变函数论、代数函数论、常微分方程论及解析数论等方向；他在实分析、阿贝尔函数论和数学物理方程等方面都有重大的进展。

1849年，黎曼在哥廷根开始攻读博士。1851年，他提交了《关于单复变函数一般理论基础》的论文，获得了博士学位。导师高斯对这篇博士论文给予了很高的评价：“黎曼先生的学位论文令人信服地表明作者在本文涉及的理论中进行了彻底而深刻的研究，显示出作者富有真正创造性的、活泼的数学心智，取得了辉煌的、充满独创精神的成果。”

答辩会结束后，高斯还与威廉和韦伯议论此事，他赞叹“这是一项重大而有价值的成果，不仅符合对博士论文所要求的各项标准，而且远远超出了它们。”他平时对学生要求很高，很少称赞学生，可黎曼的论文却让他很感动。这在高斯一生中是不多见的。

1859年，黎曼发表了“论小于一个给定值的素数的个数”的论文，这是他唯一一篇与数论有关的文章，提出了著名的黎曼猜想。

戴德金：被高斯精准预言了未来的发展

尤利乌斯·威廉·理查德·戴德金 图片来源：Wikipedia

尤利乌斯·威廉·理查德·戴德金（Julius Wilhelm Richard Dedekind，1831～1916）于1850年进入哥廷根大学学习。比黎曼小5岁的他，是高斯的最后一位学生。他听过高斯最小二乘法和高等测量学的课，也听了斯特恩的数论。他的博士论文《关于欧拉积分的理论》在1852年通过了评审。高斯写的评语是：“戴德金先生准备的论文是关于积分学的一项研究，它绝不是一般的。作者不仅显示出对有关领域具有充分的知识，而且这种独创性也预示出他未来的成就。作为批准考试的试验论文，我对这篇论文完全满意。”有人将此评语与高斯对黎曼的评语相比较，认为高斯对戴德金评价不高，这是事实。可是如果仔细阅读这个评语就会发现，其实高斯对戴德金未来的发展作出了精准的预言。

戴德金毕业后留校任教。他此前听过狄利克雷的数论课，后来将狄利克雷在1856～1857年间写的《数论讲义》进行整理并编辑出版。在1871年此书第二版出版时，他发表了自己的域论及理想理论作为该书的附录。1876～1877年，他发表了《代数整数论》，也作为1879年《数论讲义》第三版的附录，更完整的理论则作为1894年第四版的附录。结果这本书的附录比前面的正文还要长，这让华罗庚羡慕不已。他在美国伊利诺依大学给学生们讲了这个故事。1950年华罗庚返回中国前，学生们还记得老师对此书的热爱，就买来这部书作为礼物送给了华罗庚。

黎曼是戴德金的师兄，两人是很好的朋友。黎曼去世后，戴德金和韦伯编辑出版了《黎曼全集》。由此可见戴德金在继承发扬老师们的学术思想方面的贡献是非常大的，同时他在数的理论与抽象代数方面也有很重要的开创性的贡献。他是继承发扬前辈学术思想的一个典范，为后人树立了好榜样。

数论专家兰道1917年在哥廷根举办的纪念戴德金的大会演讲中，对他给予了极高的评价：“戴德金不仅是一位伟大的数学家，而且是从古到今整个数学史上真正杰出的人物。他是他那个时代的最后一位英雄，高斯的最后一位学生。他本人40多年来已是经典作家，不仅我们，甚至我们的老师乃至老师的老师都从他的工作中受到启发。”

高斯一生治学严谨、追求完美与深刻的作风影响到了他的学生。弟子们也像老师一样，以同样的治学精神而努力着。

本文摘自《科学世界》2018年第2期。

作者 | 金雅芬

新媒体编辑 | 张丽君

来源：科学世界

原标题：科史钩沉 | 高斯与他的学生们

编辑：Meyare