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三次样条插值

样条插值是一种工业设计中常用的、得到平滑曲线的一种插值方法，三次样条是其中用的较为广泛的一种。

样条插值

样条插值最初是用于函数拟合
对于平面上的离散点，进行函数拟合时，一种简单粗暴的方法就是不光滑的直线来将离散的点相连，即我们通常所说的线性拟合。

线性拟合会存在一个问题，拟合出来的函数不够“光滑”，为了让线条更加光滑，可以使用二次线条或者三次线条来连接每一个点。三次多项式的拟合效果相对于二次多项式更好，但是以上的拟合结果都是使用N次的线条将点简单连接起来。

若使用三次样条插值对离散点进行拟合，对比3次线条连接方法，三次样条插值方法拟合出来的曲线更加符合实际。

三次样条的性质

1.三次样条曲线在衔接点处是连续光滑的
2.三次样条的一阶导数和二阶导数是连续的
3.自由边界三次样条（Nature Cubic Spline）的边界二阶导数也是连续的
4.单个点并不会影响到整个插值曲线

三次样条插值算法

人在计算三次样条的系数我们使用的是代数方法，即使用已有的方程组不断的代入求解即可，在实际的算法实现中通常不是通过代数解方程来求解，下面我们给出三次样条插值的计算机算法：



公式原理此处不作具体的推导。可参考博客：https://www.cnblogs.com/ondaytobewhoyouwant/p/8989497.html