二分图的最大匹配

二分图的最大匹配二分图指的是这样一种图,其所有顶点可以分成两个集合X和Y,其中X或Y中任意两个在同一集合中的点都不相连,所有的边关联在两个顶点中,恰好一个属于集合X,另一个属于集合Y。给定一个二分图G,M为G边集的一个子集,如果M满足当中的任意两条边都不依附于同一个顶点,则称M是一个匹配。图中包含边数最多的匹配称为图的最大匹配。    二分图的最大匹配有两种求法,第一种是最大流;第二种就是我现在要讲的匈牙利

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      二分图指的是这样一种图,其所有顶点可以分成两个集合X和Y,其中X或Y中任意两个在同一集合中的点都不相连,所有的边关联在两个顶点中,恰好一个属于集合X,另一个属于集合Y。给定一个二分图G,M为G边集的一个子集,如果M满足当中的任意两条边都不依附于同一个顶点,则称M是一个匹配。图中包含边数最多的匹配称为图的最大匹配。

     二分图的最大匹配有两种求法,第一种是最大流;第二种就是我现在要讲的匈牙利算法。这个算法说白了就是最大流的算法,但是它跟据二分图匹配这个问题的特点,把最大流算法做了简化,提高了效率。

      增广路径的定义(也称增广轨或交错轨):
  若P是图G中一条连通两个未匹配顶点的路径,并且属M的边和不属M的边(即已匹配和待匹配的边)在P上交替出现,则称P为相对于M的一条增广路径。
由增广路径的定义可以推出下述4个结论:
        1-P的路径长度必定为奇数,第一条边和最后一条边都不属于M。
        2-P上所有第奇数条边都不在M中,所有第偶数条边都出现在M中。
   3-P经过取反操作可以得到一个更大的匹配M’。所谓“取反”即把P上所有第奇数条边(原不在M中)加入到M中,并把P中所有第偶数条边(原在M中)从M中删除,则新的匹配数就比原匹配数多了1个。(增广路顾名思义就是使匹配数增多的路径)
        4-M为G的最大匹配当且仅当不存在相对于M的增广路径。

   最大流算法的核心问题就是找增广路径(augment path)。匈牙利算法也不例外,它的基本模式就是:
     初始时最大匹配为空
      while 找得到增广路径
               do 把增广路径加入到最大匹配中去
      可见和最大流算法是一样的。但是这里的增广路径就有它一定的特殊性。(注:匈牙利算法虽然根本上是最大流算法,但是它不需要建网络模型,所以图中不再需要源点和汇点,仅仅是一个二分图。每条边也不需要有方向。)

      算法的思路是不停的找增广路径, 并增加匹配的个数,增广路径顾名思义是指一条可以使匹配数变多的路径,在匹配问题中,增广路径的表现形式是一条”交错路径”,也就是说这条由图的边组成的路径, 它的第一条边是目前还没有参与匹配的,第二条边参与了匹配,第三条边没有..最后一条边没有参与匹配,并且始点和终点还没有被选择过。这样交错进行,显然他有奇数条边。那么对于这样一条路径,我们可以将第一条边改为已匹配,第二条边改为未匹配…以此类推。也就是将所有的边进行”反色”,容易发现这样修改以后,匹配仍然是合法的,但是匹配数增加了一对。另外,单独的一条连接两个未匹配点的边显然也是交错路径。可以证明。当不能再找到增广路径时,就得到了一个最大匹配,这也就是匈牙利算法的思路。

3个重要结论:

最小点覆盖数: 最小覆盖要求用最少的点(X集合或Y集合的都行)让每条边都至少和其中一个点关联。可以证明:最少的点(即覆盖数)=最大匹配数
最小路径覆盖=最小路径覆盖=|N|-最大匹配数
用尽量少的不相交简单路径覆盖有向无环图G的所有结点。解决此类问题可以建立一个二分图模型。把所有顶点i拆成两个:X结点集中的i和Y结点集中的i’,如果有边i->j,则在二分图中引入边i->j’,设二分图最大匹配为m,则结果就是n-m。
二分图最大独立集=顶点数-二分图最大匹配
在N个点的图G中选出m个点,使这m个点两两之间没有边,求m最大值。
如果图G满足二分图条件,则可以用二分图匹配来做.最大独立集点数 = N – 最大匹配数。


例题:

http://poj.org/problem?id=1469  COURSES

有了匈牙利算法的基础,该题就是一道非常简单的题目了:该题给出P门课程,N个学生,问能否从中选出P个学生,使每个学生上不同的课,且每个课程有一个学生。典型的二分图匹配的问题,我们只要计算最大二分图匹配数,如果和课程数相同就输出YES,否则输出NO。

//poj_1469
/*==================================================*\
| 二分图匹配(匈牙利算法DFS 实现)
| INIT: g[][]邻接矩阵;
| 优点:实现简洁容易理解,适用于稠密图,DFS找增广路快。
| 找一条增广路的复杂度为O(E),最多找V条增广路,故时间复杂度为O(VE)
==================================================*/
#include<stdio.h>
#include<memory.h>

bool g[110][310]; //邻接矩阵,true代表有边相连
bool flag,visit[310];    //记录V2中的某个点是否被搜索过
int match[310];   //记录与V2中的点匹配的点的编号
int p,n;   //二分图中左边、右边集合中顶点的数目 

// 匈牙利算法
bool dfs(int u)
{
	for (int i = 1; i <= n; ++i)
	{
		if (g[u][i] && !visit[i])   //如果节点i与u相邻并且未被查找过
		{
			visit[i] = true;   //标记i为已查找过
			if (match[i] == -1 || dfs(match[i]))   //如果i未在前一个匹配M中,或者i在匹配M中,但是从与i相邻的节点出发可以有增广路径
			{
				match[i] = u;  //记录查找成功记录,更新匹配M(即“取反”)
				return true;   //返回查找成功
			}
		}
	}
	return false;
}

int main(void)
{
    int i,j,k,t,v,ans;
    scanf("%d",&t);
    while (t--)
    {
          scanf("%d %d", &p, &n);
          for (i = 1; i <= p; i++)
		  {
              for (j = 1; j <= n; j++)
                  g[i][j] = false;
		  }
          for (i = 1; i <= n; i++)
              match[i] = -1;
          flag = true;
          for (i = 1; i <= p; i++)
          {
              scanf("%d",&k);
              if (k == 0)
                 flag = false;
              while (k--)
              {
                    scanf("%d",&v);
                    g[i][v]  = true;
              }
          }
          if (flag)
          {
               ans = 0;
               for (i = 1; i <= p; i++)
               {
                   memset(visit,false,sizeof(visit));   //清空上次搜索时的标记
                   if( dfs(i) )    //从节点i尝试扩展
					   ans++;
               }
               if (ans == p)
				   puts("YES");
               else
				   puts("NO");
          } 
          else
			  puts("NO");
    }
    
    return 0;
}

pku 2446 二分图最大匹配的应用

http://poj.org/problem?id=2446   Chessboard

题意:给出一个矩形N*M棋盘,有K个格子是空洞,然后用2*1的矩形,对所有非空洞的格子进行覆盖,如果可以全部覆盖,就puts(“YES”);
算法:建立二分图,用匈牙利算法;
我们分别对所有的格子进行标号1.。。N*M
将问题转化为二分图最大匹配问题。将棋盘按国际象棋棋盘那样添上黑白两种颜色,这样的话,黑色和白色的格子就构成了二分图的两个集合,即相邻的两个格子不会属于同个集合的。然后从上到下,从左到右对格子进行编号(除了洞),相邻的两格用边相连就构成一个二分图。然后求出最大匹配。。如果最大匹配+K=N*M就输出YES。。

二分图建图就是对于每一个不是洞的点,往4个方向扩展,如果哪个方向有不是洞的点,那么就可以连上一条边,然后我们再求这个二分图的最大匹配,然后判断它是否是一个完备匹配(即所有点都在匹配边上的匹配)
二分图永远是单向的,本题中的二分图中的x和y是一样的,但是即使这样也不能认为这个二分图是双向的,在本题通过上面的方法建图以后,我们只要求出最大独立集的个数是不是等于洞的个数,或者判断这个二分图是不是完备的就行了。

//poj_2446
/*==================================================*\
| 二分图匹配(匈牙利算法DFS 实现)
| INIT: g[][]邻接矩阵;
| 优点:实现简洁容易理解,适用于稠密图,DFS找增广路快。
| 找一条增广路的复杂度为O(E),最多找V条增广路,故时间复杂度为O(VE)
==================================================*/
#include<stdio.h>
#include<memory.h>

#define MAX 1089 //33*33
bool g[MAX][MAX]; //邻接矩阵,true代表有边相连
bool flag,visit[MAX];    //记录V2中的某个点是否被搜索过
int match[MAX];   //记录与V2中的点匹配的点的编号
int cnt;   //二分图中左边、右边集合中顶点的数目
bool hole[MAX][MAX];
int id[MAX][MAX];

// 匈牙利算法
bool dfs(int u)
{
	for (int i = 1; i <= cnt; ++i)
	{
		if (g[u][i] && !visit[i])   //如果节点i与u相邻并且未被查找过
		{
			visit[i] = true;   //标记i为已查找过
			if (match[i] == -1 || dfs(match[i]))   //如果i未在前一个匹配M中,或者i在匹配M中,但是从与i相邻的节点出发可以有增广路径
			{
				match[i] = u;  //记录查找成功记录,更新匹配M(即“取反”)
				return true;   //返回查找成功
			}
		}
	}
	return false;
}
int MaxMatch()
{
	int i,sum=0;
	memset(match,-1,sizeof(match));
	for(i = 1 ; i <= cnt ; ++i)
	{
		memset(visit,false,sizeof(visit));   //清空上次搜索时的标记
		if( dfs(i) )    //从节点i尝试扩展
		{
			sum++;
		}
	}
	return sum;
}

int main(void)
{
    int i,j,k,m,n,ans,y,x;
    while (scanf("%d %d %d",&m,&n,&k)!=EOF)
    {
		  memset(g,false,sizeof(g));
		  memset(hole,false,sizeof(hole));
          for (i = 1; i <= k; ++i)
		  {
			  scanf("%d %d",&y,&x);
              hole[x][y] = true;
		  }
		  if((m*n-k)&1)   //奇偶剪枝
		  {
			  puts("NO");
			  continue;
		  }
          cnt = 0;

          for (i = 1; i <= m; ++i)
          {
			  for (j = 1; j <= n; ++j)
			  {
				  if(hole[i][j] == false)   //对没有涂黑的点进行标号
				  {
					  id[i][j] = ++cnt;
				  }
			  }
          }
		  for (i = 1; i <= m; ++i)
          {
			  for (j = 1; j <= n; ++j)
			  {
				  if(hole[i][j] == false)
				  {
					  if(i-1>0 && hole[i-1][j] == false)   //建图。。要注意边界问题
						  g[ id[i][j] ][ id[i-1][j] ] = true;
					  if(i+1<=m && hole[i+1][j] == false)
						  g[ id[i][j] ][ id[i+1][j] ] = true;
					  if(j-1>0 && hole[i][j-1] == false)
						  g[ id[i][j] ][ id[i][j-1] ] = true;
					  if(j+1<=n && hole[i][j+1] == false)
						  g[ id[i][j] ][ id[i][j+1] ] = true;
				  }
			  }
		  }

		  ans = MaxMatch();
		  if (ans == cnt)
			  puts("YES");
		  else
			  puts("NO");
	}
    
    return 0;
}

静态邻接表模板:

//poj_2446
/*==================================================*\
| 二分图匹配(匈牙利算法DFS 实现)
| 邻接表方法来实现;
| 优点:实现简洁容易理解,适用于稠密图,DFS找增广路快。
| 找一条增广路的复杂度为O(E),最多找V条增广路,故时间复杂度为O(VE)
==================================================*/
#include<stdio.h>
#include<memory.h>

#define MAX 1089 //33*33
bool flag,visit[MAX];    //记录V2中的某个点是否被搜索过
int match[MAX];   //记录与V2中的点匹配的点的编号
int cnt;   //二分图中左边、右边集合中顶点的数目
bool hole[MAX][MAX];
int id[MAX][MAX];
int head[MAX];

struct edge
{
    int to,next;
}e[100005];
int index;

void addedge(int u,int v)
{   //向图中加边的算法,注意加上的是有向边
	//u为v的后续节点既是v---->u
    e[index].to=v;
    e[index].next=head[u];
    head[u]=index;
	index++;
}

// 匈牙利(邻接表)算法
bool dfs(int u)
{
	int i,v;
    for(i = head[u]; i != 0; i = e[i].next)
	{
		v = e[i].to;
        if(!visit[v])   //如果节点v与u相邻并且未被查找过
		{
            visit[v] = true;   //标记v为已查找过
            if(match[v] == -1 || dfs(match[v]))   //如果i未在前一个匹配M中,或者i在匹配M中,但是从与i相邻的节点出发可以有增广路径
			{
                match[v] = u;  //记录查找成功记录,更新匹配M(即“取反”)
                return true;   //返回查找成功
            }
        }
    }
    return false;
}
int MaxMatch()
{
	int i,sum=0;
	memset(match,-1,sizeof(match));
	for(i = 1 ; i <= cnt ; ++i)
	{
		memset(visit,false,sizeof(visit));   //清空上次搜索时的标记
		if( dfs(i) )    //从节点i尝试扩展
		{
			sum++;
		}
	}
	return sum;
}

int main(void)
{
    int i,j,k,m,n,ans,y,x;
    while (scanf("%d %d %d",&m,&n,&k)!=EOF)
    {
		  memset(hole,false,sizeof(hole));
          for (i = 1; i <= k; ++i)
		  {
			  scanf("%d %d",&y,&x);
              hole[x][y] = true;
		  }
		  if((m*n-k)&1)   //奇偶剪枝
		  {
			  puts("NO");
			  continue;
		  }
          cnt = 0;
		  index = 1;

          for (i = 1; i <= m; ++i)
          {
			  for (j = 1; j <= n; ++j)
			  {
				  if(hole[i][j] == false)   //对没有涂黑的点进行标号
				  {
					  id[i][j] = ++cnt;
				  }
			  }
          }
		  memset(head,0,sizeof(head));    //切记要初始化
		  for (i = 1; i <= m; ++i)
          {
			  for (j = 1; j <= n; ++j)
			  {
				  if(hole[i][j] == false)
				  {
					  if(i-1>0 && hole[i-1][j] == false)   //建图。。要注意边界问题
						  addedge(id[i][j],id[i-1][j]);
					  if(i+1<=m && hole[i+1][j] == false)
						  addedge(id[i][j],id[i+1][j]);
					  if(j-1>0 && hole[i][j-1] == false)
						  addedge(id[i][j],id[i][j-1]);
					  if(j+1<=n && hole[i][j+1] == false)
						  addedge(id[i][j],id[i][j+1]);
				  }
			  }
		  }

		  ans = MaxMatch();
		  if (ans == cnt)
			  puts("YES");
		  else
			  puts("NO");
	}
    return 0;
}

http://poj.org/problem?id=1274

题意描述:
农夫约翰上个星期刚刚建好了他的新牛棚,他使用了最新的挤奶技术。不幸的是,由于工程问题,每个牛栏都不一样。第一个星期,农夫约翰随便地让奶牛们进入牛栏,但是问题很快地显露出来:每头奶牛都只愿意在她们喜欢的那些牛栏中产奶。上个星期,农夫约翰刚刚收集到了奶牛们的爱好的信息(每头奶牛喜欢在哪些牛栏产奶)。一个牛栏只能容纳一头奶牛,当然,一头奶牛只能在一个牛栏中产奶。
输入:第一行 两个整数,N (0 <= N <= 200) 和 M (0 <= M <= 200) 。N 是农夫约翰的奶牛数量,M 是新牛棚的牛栏数量。
第二行到第N+1行 一共 N 行,每行对应一只奶牛。第一个数字 (Si) 是这头奶牛愿意在其中产奶的牛栏的数目 (0 <= Si <= M) 。后面的 Si 个数表示这些牛栏的编号。牛栏的编号限定在区间 (1..M) 中,在同一行,一个牛栏不会被列出两次。
输出:
只有一行。输出一个整数,表示最多能分配到的牛栏的数量。

给出奶牛们的爱好的信息,计算最大分配方案。

#include<stdio.h>
#include<memory.h>

#define MAX 202
bool flag,visit[MAX];    //记录V2中的某个点是否被搜索过
int match[MAX];   //记录与V2中的点匹配的点的编号
int cow, stall;   //二分图中左边、右边集合中顶点的数目
int head[MAX];

struct edge
{
    int to,next;
}e[3000];
int index;

void addedge(int u,int v)
{   //向图中加边的算法,注意加上的是有向边
	//u为v的后续节点既是v---->u
    e[index].to=v;
    e[index].next=head[u];
    head[u]=index;
	index++;
}


// 匈牙利(邻接表)算法
bool dfs(int u)
{
	int i,v;
    for(i = head[u]; i != 0; i = e[i].next)
	{
		v = e[i].to;
        if(!visit[v])   //如果节点v与u相邻并且未被查找过
		{
            visit[v] = true;   //标记v为已查找过
            if(match[v] == -1 || dfs(match[v]))   //如果i未在前一个匹配M中,或者i在匹配M中,但是从与i相邻的节点出发可以有增广路径
			{
                match[v] = u;  //记录查找成功记录,更新匹配M(即“取反”)
                return true;   //返回查找成功
            }
        }
    }
    return false;
}
int MaxMatch()
{
	int i,sum=0;
	memset(match,-1,sizeof(match));
	for(i = 1 ; i <= cow ; ++i)
	{
		memset(visit,false,sizeof(visit));   //清空上次搜索时的标记
		if( dfs(i) )    //从节点i尝试扩展
		{
			sum++;
		}
	}
	return sum;
}

int main(void)
{
    int i,j,k,ans,m;
	while (scanf("%d %d",&cow, &stall)!=EOF)
	{
		memset(head,0,sizeof(head));    //切记要初始化
		index = 1;
		for (i = 1; i <= cow; ++i)
		{
			scanf("%d",&k);
			for (j = 0; j < k; ++j)
			{
				scanf("%d",&m);
				addedge(i , m);
			}
		}

		ans = MaxMatch();
		printf("%d\n",ans);
	}
	return 0;
}

http://poj.org/problem?id=1325

分析:显然,机器重启次数是两台机器需要使用的不同模式的个数。把每个任务看成一条边,即A机器的每个模式看成一个X节点,B机器的每个模式看成一个Y节点,任务i为边(ai, bi)。本题即求最少的点让每条边至少与其中的一点关联,即求一个点的最小覆盖。可以证明,这个最小覆盖就是该二分图的最大匹配数。故二分图匹配的模型就建好了。注意到开始时机器都处于0模式,所以如果某个任务可以在0模式下执行,则我们可以不考虑该任务,假定它已经被完成即可,也就是建图的时候不要把与0关联的边加到二分图中就可以得到正确的解。

#include<stdio.h>
#include<memory.h>

#define MAX 105
bool visit[MAX];    //记录V2中的某个点是否被搜索过
int match[MAX];   //记录与V2中的点匹配的点的编号
int n,m;   //二分图中左边、右边集合中顶点的数目
int head[MAX];

struct edge
{
    int to,next;
}e[1005];
int index;

void addedge(int u,int v)
{   //向图中加边的算法,注意加上的是有向边
	//u为v的后续节点既是v---->u
    e[index].to=v;
    e[index].next=head[u];
    head[u]=index;
	index++;
}

// 匈牙利(邻接表)算法
bool dfs(int u)
{
	int i,v;
    for(i = head[u]; i != 0; i = e[i].next)
	{
		v = e[i].to;
        if(!visit[v])   //如果节点v与u相邻并且未被查找过
		{
            visit[v] = true;   //标记v为已查找过
            if(match[v] == -1 || dfs(match[v]))   //如果i未在前一个匹配M中,或者i在匹配M中,但是从与i相邻的节点出发可以有增广路径
			{
                match[v] = u;  //记录查找成功记录,更新匹配M(即“取反”)
                return true;   //返回查找成功
            }
        }
    }
    return false;
}
int MaxMatch()
{
	int i,sum=0;
	memset(match,-1,sizeof(match));
	for(i = 1 ; i < n ; ++i)
	{
		memset(visit,false,sizeof(visit));   //清空上次搜索时的标记
		if( dfs(i) )    //从节点i尝试扩展
		{
			sum++;
		}
	}
	return sum;
}

int main(void)
{
    int i,j,k,ans,y,x;
    while (scanf("%d",&n),n)
	{
		scanf("%d %d",&m,&k);
		index = 1;
		memset(head,0,sizeof(head));    //切记要初始化

		for (i = 1; i <= k; ++i)
		{
			scanf("%d %d %d",&j,&x,&y);
			if(x && y)
				addedge(x,y);
		}
		ans = MaxMatch();
		printf("%d\n",ans);
	}
    return 0;
}

动态邻接表模板:

#include<iostream>
using namespace std;

int n,m,k;
bool visit[105];    //每次找增广路时对Y中点是否访问
int match[105];   //Y中点匹配的X中点的位置

struct edge
{
	int from;
	int to;
	edge* next;
	edge()
	{
		from = to = 0;
		next = NULL;
	}
};
edge* List[105];

void add_edge(int f,int t)
{
	edge* node = new edge();
	node->from = f;
	node->to = t;
	node->next = List[f];
	List[f] = node;
}

// 匈牙利(邻接表)算法  
bool dfs(edge* node)
{
    int i;  
    for(; node != NULL; node = node->next)  
    {  
        i = node->to; 
        if(visit[i] == NULL)   //如果节点v与u相邻并且未被查找过  
        {  
            visit[i] = true;   //标记v为已查找过  
            if(match[i] == -1 || dfs( List[match[i]] ) )   //如果i未在前一个匹配M中,或者i在匹配M中,但是从与i相邻的节点出发可以有增广路径  
            {  
                match[i] = node->from;  //记录查找成功记录,更新匹配M(即“取反”)  
                return true;   //返回查找成功  
            }  
        }  
    }  
    return false;  
}

int main(void)
{
	int i,x,y;
	while(scanf("%d",&n)!=EOF && n!=0)
	{
		for(i=0;i<=n;i++)//链表清空,一开始没清空,错了很多次
		{
			List[i] = NULL;
		}
		memset(match,-1,sizeof(match));
		scanf("%d%d",&m,&k);
		while(k--)
		{
			scanf("%d%d%d",&i,&x,&y);
			if(x && y)
				add_edge(x,y);
		}
		int sum = 0;
		for(i=1;i<=n;i++)
		{
			memset(visit,false,sizeof(visit));
			if( dfs(List[i]) )
				sum++;
		}
		printf("%d\n",sum);
	}
	return 0;
}

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1281棋盘游戏

又是一种建图的方式,对于一个坐标,x , y 可以分成两个不同的集合,如果该点满足某种性质的话,就在 x , y 上连一条线,本题就是这样的……
本题要求关键点,那么只需要对于每个可行点进行删点,然后看看得出的最大匹配是否小于不删点的解,如果小于,则是关键点……统计一下即可。
代码:

/*==================================================*\
| 二分图匹配(匈牙利算法DFS 实现)
| INIT: g[][]邻接矩阵;
| 优点:实现简洁容易理解,适用于稠密图,DFS找增广路快。
| 找一条增广路的复杂度为O(E),最多找V条增广路,故时间复杂度为O(VE)
==================================================*/
#include<stdio.h>
#include<memory.h>

bool g[101][101]; //邻接矩阵,true代表有边相连
bool visit[101];    //记录V2中的某个点是否被搜索过
int match[101];   //记录与V2中的点匹配的点的编号
int n,m,k;   //二分图中左边、右边集合中顶点的数目 

// 匈牙利算法
bool dfs(int u)
{
	for (int i = 1; i <= m; ++i)
	{
		if (g[u][i] && !visit[i])   //如果节点i与u相邻并且未被查找过
		{
			visit[i] = true;   //标记i为已查找过
			if (match[i] == -1 || dfs(match[i]))   //如果i未在前一个匹配M中,或者i在匹配M中,但是从与i相邻的节点出发可以有增广路径
			{
				match[i] = u;  //记录查找成功记录,更新匹配M(即“取反”)
				return true;   //返回查找成功
			}
		}
	}
	return false;
}

inline int MaxMatch()
{  
    int i,sum=0;  
    memset(match,-1,sizeof(match));  
    for(i = 1 ; i <= n ; ++i)  
    {  
        memset(visit,false,sizeof(visit));   //清空上次搜索时的标记  
        if( dfs(i) )    //从节点i尝试扩展  
        {  
            sum++;  
        }  
    }  
    return sum;  
}

int main(void)
{
    int i,j,ans,x,y,num,t=1;
    while (scanf("%d %d %d",&n,&m,&k)!=EOF)
    {
		  memset(g,false,sizeof(g));   //初始化
          for (i = 1; i <= k; ++i)
          {
			  scanf("%d %d",&x,&y);
			  g[x][y] = true;
          }
		  ans = MaxMatch();
		  num = 0;
		  for (i = 1; i <= n; ++i)
		  {
			  for (j = 1; j <= m; ++j)
			  {
				  if(g[i][j] == true)
				  {
					  g[i][j] = false;
					  if(MaxMatch() < ans)
						  num++;
					  g[i][j] = true;
				  }
			  }
		  }
		  printf("Board %d have %d important blanks for %d chessmen.\n",t++,num,ans);
    }
    return 0;
}

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2819   Swap

题目的意思是,通过一系列交换,让矩阵中A[i, i] (1 <= i <= N)的值全为1。
首先要明确:如果某行或者某列全是0。那怎么换都没办法的。否则,一定能换出来。这个动动脑子想一下可以明白的。

其实就是简单的二分匹配,行和列匹配就可以了,关键是点不在于匹配而在于排序,因为匹配后的match存储的是列的匹配对象,所以只需要把列从小到大(或者从大到小,因为是special judge,所以主、副对角线都是一样)排序,每排序一次就保存当前交换了的下标,注意这里不能用冒泡而最好用选择,因为题目要求len不能大于1000,,这里纠结了一下,郁闷死了)
其次要明确:只交换行或者只交换列都是可以换出来的,这个动动脑子想一下也可以明白的。

明确了这两点,这问题就变成了二分图的匹配问题。
二分图左边的节点为每一行的行号,二分图右边的节点为每一行中出现的“1”对应的列号,这样用匈牙利算法就可以匹配了。

/*
最大二分匹配+选择排序
开始压根没想到会是二分图匹配问题,做题太少,只能说水平不够吧。
将行数放在左边,右边为连接该行为1的所在列数,再求二分图的最大匹配,若能完全匹配,则存在。
再用选择排序的方法,次算出行之间的交换次数,并保存结果。
*/
#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
#include<memory.h>

bool visit[101];    //记录V2中的某个点是否被搜索过
int match[101];   //记录与V2中的点匹配的点的编号
int n;   //二分图中左边、右边集合中顶点的数目
bool flag;
int a[101],b[101],head[101];

struct edge  
{
    int to,next;  
}e[5005];  
int index;  
  
void addedge(int u,int v)  
{   //向图中加边的算法,注意加上的是有向边  
    //u为v的后续节点既是v---->u  
    e[index].to=v;  
    e[index].next=head[u];  
    head[u]=index;  
    index++;
}

// 匈牙利(邻接表)算法  
bool dfs(int u)  
{  
    int i,v;
    for(i = head[u]; i != 0; i = e[i].next)  
    {  
        v = e[i].to;  
        if(!visit[v])   //如果节点v与u相邻并且未被查找过  
        {  
            visit[v] = true;   //标记v为已查找过  
            if(match[v] == -1 || dfs(match[v]))   //如果i未在前一个匹配M中,或者i在匹配M中,但是从与i相邻的节点出发可以有增广路径  
            {  
                match[v] = u;  //记录查找成功记录,更新匹配M(即“取反”)  
                return true;   //返回查找成功  
            }
        }
    }
    return false;  
}

int MaxMatch()
{  
    int i,sum=0;
    memset(match,-1,sizeof(match));
    for(i = 1 ; i <= n ; ++i)
    {
        memset(visit,false,sizeof(visit));   //清空上次搜索时的标记  
        if( dfs(i) )    //从节点i尝试扩展  
        {
            sum++;  
        }
		else
		{
			flag = false;
			break;
		}
    }  
    return sum;  
}
inline bool scan_d(int &num)  //  这个就是 加速的 关键了 
{
	char in;bool IsN=false;
	in=getchar();
	if(in==EOF)
		return false;
	while(in!='-'&&(in<'0'||in>'9')) in=getchar();
	if(in=='-')   { IsN=true;num=0;}
	else num=in-'0';
	while(in=getchar(),in>='0'&&in<='9')
	{
		num*=10,num+=in-'0';
	}
	if(IsN)
		num=-num;
	return true;
}

int main(void)
{
    int i,j,ans,k,cnt,value;
	while (scanf("%d",&n)!=EOF)
	{
		index = 1;
		flag = true;
		memset(head,0,sizeof(head));    //切记要初始化,否则会超时的  
		for (i = 1; i <= n; i++)
		{
			for (j = 1; j <= n; j++)
			{
				scan_d(value);
				if(value)
					addedge(i,j);
			}
		}
		ans = MaxMatch();
		if(!flag)
			puts("-1");
		else
		{
			cnt = 0;
			for (i = 1; i <= n; i++)
			{
				k = i;
				for(j = i; j <= n; j++)
				{
					if(match[j] < match[k])
						k = j;
				}
				if(k != i)
				{
					a[cnt]=i;
					b[cnt++]=k;
					swap(match[i] , match[k]);
				}
			}
			printf("%d\n",cnt);
			for (i = 0; i < cnt; i++)
				printf("C %d %d\n",a[i],b[i]);
		}
	}
	return 0;
}

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