高数复习（4）–格林公式的理解

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（非证明，仅供自己理解）

—————————公式—————————–

非常简单美观，而且实用，巧妙的把对坐标的曲线积分(一般这个难)转化到二重积分上。

—————————理解—————————–

就等号成立的可能性上来说，直观感觉应该是好理解的
牛顿莱布尼兹公式能把一维的线上(x轴)的积分转化为原函数两端点的做差
那么凭什么格林公式就不能把二维面上的积分转化为边界线上的曲线积分呢？

具体理解过程是这样的：
（以下为查阅知乎相关解答所知，据说源自《托马斯微积分》，反正就是贼强）
首先问题的引入

(写完才发现我这里力场表达式F=Q(x,y)i+P(x,y)j和上面给的公式的背景F=P(x,y)i+Q(x,y)j是反的(字典序反了)但是影响不大）

对于一个力场F = F(x,y) = Q(x,y)i +P(x,y)j
要求对其中物体沿某条闭合曲线L⁺ 运动一周
力场对之做功总和

如图：

那么本质上就是求解的这样一个积分：

格林公式的右边

上式显然完全就是之前讲的对坐标的曲线积分形式 可以直接转化：这一步好理解也好写出来，那么得到的就是格林公式的右边

格林公式的左边

接下来从另一种理解角度得到格林公式的左边，也就是稍微难理解的二维的哪一边
（究竟为什么对平面内部的描述因为此公式等价于对面边界的描述？）

取微元

先取出平面内部区域里面的一个微元
注意这个微元不是一个点 而是一个极小的小方块：

边长为dx和dy
沿这个小方块边界做功一圈
将沿着每个边做功的力看作恒等于箭头起点的力
显然就是这四者之和

当然因为dx和dy都是平行于坐标轴的，所以F直接可以省略一个向量
得到做功结果：

微元积分

以上都是好直接理解的，而下面这一步是第一个精髓点
将这样几个小方块连续地拼在一起，显然绿色的箭头代表的F做功相邻相消
最后剩下的就是一个大一些的外围F做功：
因此我们只要将无数这样的小方块铺满整个曲线包围的面片，不断求和(也就是积分)
得到的就是最后的结果

写出微元表达式

回到这里看这个微元小方块，写出它的积分元素
如果直接相加：
F*dr = Q(x0,y0)dx + P(x0+dx,y0)dy + Q(x0+dx,y0+dy)dx + P(x0,y0+dy)dy

这样接下来就没法转化了，因此格林同志就做出另一个巧妙的转化
将上方和左方的做功表达式换一种写法(箭头换了一个方向，并取负号)

上方： Q(x0+dx,y0+dy)dx = -Q(x0,y0+dy)dx
左方：P(x0,y0+dy)dy = -P(x0,y0)dy

得到：
F*dr = Q(x0,y0)dx + P(x0+dx,y0)dy – Q(x0,y0+dy)dx – P(x0,y0)dy

这样处理有什么好处呢，这就涉及到第二个精髓点： 原式写作：
F*dr = [Q(x0,y0) – Q(x0,y0+dy)]dx + [P(x0+dx,y0) – P(x0,y0)]dy

由偏导数的定义：

将dy乘到等号右边：
是不是就得到了第一个方括号里面的式子？(取负号)
对第二个放括号也这样操作，并代换（别忘了方括号外面还有个dx（dy））：

然后对面片区域进行二重积分
所以格林公式等号右边也得到了！

—————————感想—————————–

格林公式真的是漂亮，连接了一维的线和二维的面
但是理解上也确实复杂与精妙

取小方块为微元
写做功表达式的方向调转
用偏导数的定义等价转化

每一步都是前人的智慧啊！
人类这么聪明，我真是太丢人类的脸了呜呜呜