泰勒公式(泰勒展开式,泰勒中值定理)使用基本技巧

泰勒公式(泰勒展开式,泰勒中值定理)使用基本技巧泰勒系列公式在计算中占有很重要的位置,比如计算近似值,极限等。泰勒公式在实际应用中需要特别注意的是一定要使得收敛到某个数,用得最多的是使其趋于零,如果该项在展开后不能趋于零(定值),则展开往往没有意义,因为泰勒展开的目的是可以利用高阶无穷小来达到舍弃一些项,从而简化计算。这里我们可以分析一下上式:1)(n+1)!,一般我们在舍弃时,n都不可能取很大,因此这一项一般情况下只能作为常数考虑,不能作

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泰勒系列公式在计算中占有很重要的位置,比如计算近似值,极限等。泰勒公式在实际应用中需要特别注意的是一定要使得泰勒公式(泰勒展开式,泰勒中值定理)使用基本技巧收敛到某个数,用得最多的是使其展开式高阶部分加速趋于零,如果在展开后高阶不能趋于零(定值),则展开往往没有意义,因为泰勒展开的目的是可以利用高阶无穷小来达到舍弃一些项,从而简化计算。这里我们可以分析一下上式:1)(n+1)!,一般我们在舍弃时,n都不可能取很大,因此这一项一般情况下只能作为常数考虑,不能作为舍弃的依据;(x-x0),这一项随着n的增大,如果|x-x0|>1,则不容易能被舍弃,如果|x-x0|/(n+1)!,不能趋于0,则基本不能作为舍弃项,因此一般情况下,我们需要使得|x-x0|小于1,这样,在n比较小的时候,就可以使得整个式子可以被舍弃;当然,也要考虑到n+1阶导数项值,但由于我们在应用中多半为了便于计算导数,选取的值都比较特殊,比如0,或者1之类的,也不适合作为高阶无穷小的部分。综合上述,我们在对函数进行泰勒展开时,一般情况下,应尽量确保|x-x0|<1,举个简单的例子,在计算30的立方根时,如果选择函数f(x)=x^1/3,就达不到预期目的,而选取f(x)=3(1+x)^1/3,则就比较容易达到目的.因此在实际应用中,可以通过简单的变量替换,使得展开式的余项尽可能小。

泰勒公式(泰勒展开式,泰勒中值定理)使用基本技巧

泰勒公式(泰勒展开式,泰勒中值定理)使用基本技巧

泰勒公式(泰勒展开式,泰勒中值定理)使用基本技巧

后记:利用泰勒中值定理或者叫泰勒公式进行函数展开的一个好处,其实是将一些难于计算的函数式,比如幂函数(a^x),对数,三角函数或者方根等复杂的函数式,转化为自变量的整数幂次计算,虽然n阶导数有可能还是复杂函数,但通过取特殊的x0,比如0,1(最常用的,还有-1,e等,这种x0为数不多),n阶导数在x0 处的值很容易获得,从而就达到了这个转换的目的;当然,我前面提醒过,转换时一定要让x-x0的绝对值小于或等于1,否则转换虽然没问题,但不一定能达到目的。比如x趋于无穷大,则可以取y=1/x(注意定义域),等价于y趋于0,如果x-x0大于1,则可以先提一个常数因子等。当然,在利用泰勒公式求极限的时候,还可以利用等价数列来简化计算。

后记2:这里的x-x0项小于1,并不是绝对的,如果余项整体可以很容易判断趋于0或者某个常数,当然最好。如果不能的时候就需要利用上面所说的进行简单的变换处理。

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