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本文总结了图的几种最短路径算法的实现：深度或广度优先搜索算法，费罗伊德算法，迪杰斯特拉算法，Bellman-Ford 算法。
1）深度或广度优先搜索算法（解决单源最短路径）
从起点开始访问所有深度遍历路径或广度优先路径，则到达终点节点的路径有多条，取其中路径权值最短的一条则为最短路径。
下面是核心代码：
void dfs(int cur,int dst){
if(minpath<dst) return;//当前走过的路径大雨之前的最短路径，没有必要再走下去了
if(cur==en){//临界条件，当走到终点n
if(minpath>dst){
minpath=dst;
return;
}
}
for(int i=1;i<=n;i++){
if(mark[i]==0&&edge[cur][i]!=inf&&edge[cur][i]!=0){
mark[i]=1;
dfs(i,dst+edge[cur][i]);
mark[i]=0;//需要在深度遍历返回时将访问标志置0
}
}
return;
}例：先输入n个节点，m条边，之后输入有向图的m条边，边的前两个元素表示起点和终点，第三个值表示权值，输出1号城市到n号城市的最短距离。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define nmax 110
#define inf 999999999
int minpath,n,m,en,edge[nmax][nmax],mark[nmax];//最短路径，节点数，边数，终点，邻接矩阵，节点访问标记
void dfs(int cur,int dst){
if(minpath<dst) return;//当前走过的路径大雨之前的最短路径，没有必要再走下去了
if(cur==en){//临界条件，当走到终点n
if(minpath>dst){
minpath=dst;
return;
}
}
for(int i=1;i<=n;i++){
if(mark[i]==0&&edge[cur][i]!=inf&&edge[cur][i]!=0){
mark[i]=1;
dfs(i,dst+edge[cur][i]);
mark[i]=0;//需要在深度遍历返回时将访问标志置0
}
}
return;
}
int main ()
{
while(cin>>n>>m&&n!=0){
//初始化邻接矩阵
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=n;j++){
edge[i][j]=inf;
}
edge[i][i]=0;
}
int a,b;
while(m--){
cin>>a>>b;
cin>>edge[a][b];
}
minpath=inf;
memset(mark,0,sizeof(mark));
mark[1]=1;
en=n;
dfs(1,0);
cout<<minpath<<endl;
}
}
程序运行结果如下：
2）弗洛伊德算法（解决多源最短路径）：时间复杂度o(n^3),空间复杂度o(n^2)
基本思想：最开始只允许经过1号顶点进行中转，接下来只允许经过1号和2号顶点进行中转…….允许经过1~n号所有顶点进行中转，来不断动态更新任意两点之间的最短距离。即求从i号顶点到j顶点只经过前k号点的最短距离。
分析如下：1，首先构建邻接矩阵edge[n+1][n+1],假如现在只允许经过1号节点，求任意两点间的最短距离，很显然edge[i][j]=min(edge[i][j],edge[i][1]+edge[1][j]),代码如下：
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=n;j++){
if(edge[i][j]>edge[i][1]+edge[1][j]){
edge[i][j]=edge[i][1]+edge[1][j];
}
}
}2.接下来继续求在只允许经过1和2号两个顶点的情况下任意两点之间的最短距离，在已经实现了从i号顶点到j号顶点只经过前1号点的最短路程的前提下，现在插入第2号节点，来看看能不能更新最短路径，因此只需在步骤一求得的基础上，进行edge[i][j]=min(edge[i][j],edge[i][2]+edge[2][j]);…….
3.很显然，需要n次这样的更新，表示依次插入了1号2号…….n号节点，最后求得的edge[i][j]是从i号顶点到j号顶点只经过前n号点的最短路程。因此核心代码如下：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define inf 999999999
int main ()
{
for(int k=1;k<=n;k++){
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=n;j++){
if(edge[k][j]<inf&&edge[i][k]<inf&&edge[i][j]>edge[i][k]+edge[k][j]){
edge[i][j]=edge[i][k]+edge[k][j];
}
}
}
}
}
例1：寻找最短的从商场到赛场的路线。其中商店在1号节点处，赛场在n号节点处，1~n节点中有m条线路双向连接。
/***先输入n，m，在输入m个三元组，n为路口数，m表示有几条路，其中1为商店，n为赛场，三元组分别表示起点终点，和该路径长，输出1到n的最短距离***/
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define inf 999999999
#define nmax 110
int n,m,edge[nmax][nmax];
int main ()
{
int a,b;
while(cin>>n>>m&&n!=0){
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=n;j++){
edge[i][j]=inf;
}
edge[i][i]=0;
}
while(m--){
cin>>a>>b;
cin>>edge[a][b];
edge[b][a]=edge[a][b];
}
for(int k=1;k<=n;k++){
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=n;j++){
if(edge[k][j]<inf&&edge[i][k]<inf&&edge[i][j]>edge[i][k]+edge[k][j]){
edge[i][j]=edge[i][k]+edge[k][j];
}
}
}
}
cout<<edge[1][n]<<endl;
}
}
程序运行结果如下：
3）迪杰斯特拉算法（解决单源最短路径）
基本思想：每次找到离源点（如1号节点）最近的一个顶点，然后以该顶点为中心进行扩展，最终得到源点到其余所有点的最短路径。
基本步骤：1，设置标记数组book[]：将所有的顶点分为两部分，已知最短路径的顶点集合P和未知最短路径的顶点集合Q，很显然最开始集合P只有源点一个顶点。book[i]为1表示在集合P中；
2，设置最短路径数组dst[]并不断更新：初始状态下，dst[i]=edge[s][i](s为源点，edge为邻接矩阵),很显然此时dst[s]=0,book[s]=1.此时，在集合Q中可选择一个离源点s最近的顶点u加入到P中。并依据以u为新的中心点，对每一条边进行松弛操作（松弛是指由顶点s–>j的途中可以经过点u，并令dst[j]=min(dst[j],dst[u]+edge[u][j])）,并令book[u]=1;
3，在集合Q中再次选择一个离源点s最近的顶点v加入到P中。并依据v为新的中心点，对每一条边进行松弛操作（即dst[j]=min(dst[j],dst[v]+edge[v][j])）,并令book[v]=1;
4,重复3，直至集合Q为空。
核心代码如下：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define nmax 110
#define inf 999999999
/***构建所有点最短路径数组dst[],且1为源点***/
int u;/***离源点最近的点***/
int minx;
for(int i=1;i<=n;i++) dst[i]=edge[1][i];
for(int i=1;i<=n;i++) book[i]=0;
book[1]=1;
for(int i=1;i<=n-1;i++){
minx=inf;
for(int j=1;j<=n;j++){
if(book[j]==0&&dst[j]<minx){
minx=dst[j];
u=j;
}
}
book[u]=1;
/***更新最短路径数组***/
for(int k=1;k<=n;k++){
if(book[k]==0&&dst[k]>dst[u]+edge[u][k]&&edge[u][k]<inf){
dst[k]=dst[u]+edge[u][k];
}
}
}
例1：给你n个点，m条无向边，每条边都有长度d和花费p，给你起点s，终点t，要求输出起点到终点的最短距离及其花费，如果最短距离是有多条路线，则输出花费最少的。
输入：输入n，m，点的编号是1~n，然后是m行，每行4个数a，b，d，p，表示a和b之间有一条边，且长度为d，花费为p。最后一行是两个数s，t，起点s，终点t。n和m为0时输入结束。（1<n<=1000,0<m<100000,s!=t）
输出：输出一行，有两个数，最短距离及其花费。
分析：由于每条边有长度d和花费p，最好构建变结构体存放。
使用邻接矩阵求解：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define nmax 110
#define inf 999999999
struct Edge{
int len;
int cost;
}edge[nmax][nmax];
int u,n,m,book[nmax],s,t,dst[nmax],spend[nmax];
int minx;
int main (){
while(cin>>n>>m&&n!=0&&m!=0){
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=n;j++){
edge[i][j].len=inf;
edge[i][j].cost=0;
}
edge[i][i].len=0;
}
int a,b;
while(m--){
cin>>a>>b;
cin>>edge[a][b].len>>edge[a][b].cost;
edge[b][a].len=edge[a][b].len;
edge[b][a].cost=edge[a][b].cost;
}
cin>>s>>t;
for(int i=1;i<=n;i++) {dst[i]=edge[s][i].len;spend[i]=edge[s][i].cost;}
for(int i=1;i<=n;i++) book[i]=0;
book[s]=1;
for(int i=1;i<=n-1;i++){
minx=inf;
for(int j=1;j<=n;j++){
if(book[j]==0&&dst[j]<minx){
minx=dst[j];
u=j;
}
}
book[u]=1;
for(int k=1;k<=n;k++){
if(book[k]==0&&(dst[k]>dst[u]+edge[u][k].len||(dst[k]==dst[u]+edge[u][k].len&&spend[k]>spend[u]+edge[u][k].cost))&&edge[u][k].len<inf){
dst[k]=dst[u]+edge[u][k].len;
spend[k]=spend[u]+edge[u][k].cost;
}
}
}
cout<<dst[t]<<' '<<spend[t]<<endl;
}
}程序运行结果如下：
4）Bellman-Ford算法（解决负权边，解决单源最短路径，前几种方法不能解决负权边）
主要思想：所有的边进行n-1轮松弛，因为在一个含有n个顶点的图中，任意两点之间的最短路径最多包含n-1条边。换句话说，第1轮在对所有的边进行松弛操作后，得到从1号顶点只能经过一条边到达其余各定点的最短路径长度，第2轮在对所有的边进行松弛操作后，得到从1号顶点只能经过两条边到达其余各定点的最短路径长度，……..
此外，Bellman-Ford算法可以检测一个图是否含有负权回路：如果经过n-1轮松弛后任然存在dst[e[i]]>dst[s[i]]+w[i].
例1：对图中含有负权的有向图，输出从1号节点到各节点的最短距离，并判断有无负权回路。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define nmax 1001
#define inf 999999999
int n,m,s[nmax],e[nmax],w[nmax],dst[nmax];
int main ()
{
while(cin>>n>>m&&n!=0&&m!=0){
for(int i=1;i<=m;i++){
cin>>s[i]>>e[i]>>w[i];
}
for(int i=1;i<=n;i++)
dst[i]=inf;
dst[1]=0;
for(int i=1;i<=n-1;i++){
for(int j=1;j<=m;j++){
if(dst[e[j]]>dst[s[j]]+w[j]){
dst[e[j]]=dst[s[j]]+w[j];
}
}
}
int flag=0;
for(int i=1;i<=m;i++){
if(dst[e[i]]>dst[s[i]]+w[i]){
flag=1;
}
}
if(flag) cout<<"此图有负权回路"<<endl;
else{
for(int i=1;i<=n;i++){
if(i==1) cout<<dst[i];
else cout<<' '<<dst[i];
}
cout<<endl;
}
}
}
程序运行结果如下：
5）SPFA(Shortest Path Faster Algorithm)算法是求单源最短路径的一种算法，它是Bellman-ford队列优化，它是一种十分高效的最短路算法。
实现方法：建立一个队列，初始时队列里只有起始点s，在建立一个数组记录起始点s到所有点的最短路径（初始值都要赋为极大值，该点到他本身的路径赋为0）。然后执行松弛操作，用队列里的点去刷新起始点s到所有点的距离的距离，如果刷新成功且刷新的点不在队列中，则把该点加入到队列，重复执行直到队列为空。
此外，SPFA算法可以判断图中是否有负权欢=环，即一个点的入队次数超过N。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,len;
struct egde{
int to,val,next;
}e[200100];
int head[200100],vis[200100],dis[200100];
void add(int from,int to,int val){
e[len].to=to;
e[len].val=val;
e[len].next=head[from];
head[from]=len;
len++;
}
void spfa()
{
queue<int>q;
q.push(1);
vis[1]=1;
while(!q.empty())
{
int t=q.front();
q.pop();
vis[t]=0;
for(int i=head[t];i!=-1;i=e[i].next){
int s=e[i].to;
if(dis[s]>dis[t]+e[i].val){
dis[s]=dis[t]+e[i].val;
if(vis[s]==0){
q.push(s);
vis[s]=1;
}
}
}
}
}
int main(){
int from,to,val;
while(cin>>n>>m){
memset(head,-1,sizeof(head));
memset(vis,0,sizeof(vis));
/* for(int i=1;i<=n;i++){
dis[i]=99999999;
}*/
memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
dis[1]=0;len=1;
for(int i=0;i<m;i++){
cin>>from>>to>>val;
add(from,to,val);
}
spfa();
for(int i=1;i<=n;i++){
cout<<dis[i]<<" ";
}
cout<<endl;
}
}
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