最优化算法之牛顿法、高斯-牛顿法、LM算法

上一篇文章中主要讲解了最优化算法中的梯度下降法，类似的算法还有牛顿法、高斯-牛顿法以及LM算法等，都属于多轮迭代中一步一步逼近最优解的算法，本文首先从数学的角度解释这些算法的原理与联系，然后使用Opencv与C++实现LM算法。

1. 牛顿法。

(1) 牛顿法用于解方程的根。对于函数f(x)，对其进行一阶泰勒展开，并忽略余项得到：

解上式得到：

上式就是牛顿法的迭代式，设置一个初值x₀，然后经过多次迭代即可得到方程f(x)=0的根x_*：

(2) 牛顿法用于解决最优化问题，即求函数值取得最小值时的输入参数。求方程根时，是求满足f(x)=0时的x；而求解函数最优化问题时，是求满足f'(x)=0时的x，此时我们可以把f'(x)看成一个函数F(x)=f'(x)，那么问题就等效于求解F(x)=0的根，所以有迭代式：

而：

于是有下式，即为求解f(x)最优化参数的迭代式，其中f'(x)为一阶导数，f”(x)为二阶导数。

上述情况为一维函数的情况，即输入参数只有一个，如果是多维函数，其最优化迭代式也是相似的形式：

其中X_k+1、X_k、▽f(X_k)都是列向量，X_k+1和X_k分别为第k+1轮迭代与第k轮迭代的输入参数，▽f(X_k)为X_k的梯度向量。而H是一个n*n维（总共n个输入参数）的矩阵，通常称为Hessian矩阵，由X_k的所有二阶偏导数构成：

2. 高斯-牛顿法。对于多维函数，使用牛顿法进行优化时需要计算Hessian矩阵，该矩阵是一个对称矩阵，因此需要计算n*n/2次二阶偏导数，计算量相当大，所以人们为了简化计算，在牛顿法的基础上，将其发展为高斯-牛顿法。

对第k+1次逼近的目标函数进行泰勒展开，并忽略余项，则有下式：

其中▽f为梯度向量，也即在该点处所有输入参数的偏导数组成的向量，△x为从第k次到第k+1次逼近时输入参数的变化向量。

假设目标函数的最小值为min，那么有：

在实际问题中，通常min为0或者一个很小的正值，因此可以将min忽略，于是有：

即：

记G=(▽f*▽f^T)：

于是有下式，这就是高斯-牛顿法的迭代式，与牛顿法的迭代式进行比较，可以知道区别在于高斯-牛顿法使用矩阵G来代替Hessian矩阵，这样就能很大程度减小了计算量。

3. LM算法。由上述可知，高斯-牛顿法的逼近步长由矩阵G的逆矩阵决定，如果矩阵G非正定，那么其逆矩阵不一定存在，即使存在逆矩阵，也会导致逼近方向出现偏差，严重影响优化方向。LM算法正是为了解决矩阵G的正定问题而提出的，其将矩阵G加上单位矩阵I的倍数来解决正定问题：

于是有LM算法的迭代式：

由上式可以知道，LM算法是高斯-牛顿法与梯度下降法的结合：当u很小时，矩阵J接近矩阵G，其相当于高斯-牛顿法，此时迭代收敛速度快，当u很大时，其相当于梯度下降法，此时迭代收敛速度慢。因此LM算法即具有高斯-牛顿法收敛速度快、不容易陷入局部极值的优点，也具有梯度下降法稳定逼近最优解的特点。

在LM算法的迭代过程中，需要根据实际情况改变u的大小来调整步长：

(1) 如果当前轮迭代的目标函数值大于上轮迭代的目标函数值，即f_k+1>f_k，说明当前逼近方向出现偏差，导致跳过了最优点，需要通过增大u值来减小步长。

(2) 如果当前轮迭代的目标函数值小于上轮迭代的目标函数值，即f_k+1<f_k，说明当前步长合适，可以通过减小u值来增大步长，加快收敛速度。

下面还是举一个例子，并使用Opencv和C++来实现LM算法。首先是目标函数：

目标函数的代码实现如下：

//目标函数
double F_fun3(double x, double y, double z)
{
  double f = (x-2000.5)*(x-2000.5) + (y+155.8)*(y+155.8) + (z-10.25)*(z-10.25);
  return f;
}

求输入参数的近似偏导数的代码如下：

/*
input和gradient都是1行3列的矩阵
input[0]、input[1]、input[2]分别对应x、y、z
gradient[0]、gradient[1]、gradient[2]分别对应x、y、z的偏导数(梯度)
*/
void gfun3(Mat input, Mat &gradient)
{
  double EPS = 0.000001;


  double *p = input.ptr<double>(0);


  double f = F_fun3(p[0], p[1], p[2]);
  double fx = F_fun3(p[0]+EPS, p[1], p[2]);
  double fy = F_fun3(p[0], p[1]+EPS, p[2]);
  double fz = F_fun3(p[0], p[1], p[2]+EPS);


  gradient.create(1, 3, CV_64FC1);   //1行3列
  p = gradient.ptr<double>(0);
  p[0] = (fx - f)/EPS;
  p[1] = (fy - f)/EPS;
  p[2] = (fz - f)/EPS;


}

计算矩阵G的代码如下，

Mat cal_G_matrix(Mat gradient)
{
  Mat gradient_trans;
  Mat G;


  transpose(gradient, gradient_trans);   //转置


  G= gradient_trans*gradient;   //G=▽f*▽fT


  return G;
}

最终的LM算法实现如下：

void LM_optimize(double &x0, double &y0, double &z0)
{
  int iter = 200000; //迭代次数
  double e1 = 1e-5;  // 误差限
  double e2 = 1e-5; 
  double u = 0.000001;    //初始u值
  Mat G;
  Mat J;
  Mat I = cv::Mat::eye(3, 3, CV_64FC1);   //单位矩阵
  Mat h, h_T;
  Mat gradient, gradient_T;
  double f1, f2;
  Mat gk, gk_T;
  double low = 1.0;


  Mat input = (Mat_<double>(1, 3)<<x0, y0, z0);   //初始化输入参数
  Mat last_input;   
  double *p;




  for(int i = 0; i < iter; i++)
  {
    gfun3(input, gradient);    //计算梯度向量，即所有输入参数的一阶偏导数
    G = cal_hessian_matrix(gradient);    //由梯度向量极其转置向量计算矩阵G
    J = G + u*I;   //计算矩阵J
    
    transpose(gradient, gradient_T);   //计算梯度向量的转置向量
    p = input.ptr<double>(0);
    f1 = F_fun3(p[0], p[1], p[2]);   //计算f(Xk)
    gk = gradient_T*f1;    
    h = J.inv()*gk;   //计算J-1*▽f(xk)*f(xk)，这里的J-1为J的逆矩阵
    
    transpose(h, h_T);
    last_input = input.clone();   //保存更新之前的输入参数
    input = input - h_T;       //计算Xk+1=Xk-J-1*▽f(xk)*f(xk)
    p = input.ptr<double>(0);
    f2 = F_fun3(p[0], p[1], p[2]);  //计算f(Xk+1)


    if(f2 >= f1*1.5)   //如果fk+1>fk，说明当前逼近方向出现偏差，导致跳过了最优点，需要通过增大u值来减小步长
    {
      u *= 1.15;    //增大u值
      input = last_input.clone();
    }
    else if(f2 < f1)  //如果fk+1<fk，说明当前步长合适，可以通过减小u值来增大步长，加快收敛速度
    {
      u *= f2/f1;   //减小u值
    }


    printf("i=%d, f1=%f, f2=%f, u=%f\n", i, f1, f2, u);


    //如果输入参数的更新量很小，或者目标函数值变化很小，则认为寻找到最有参数，停止迭代
    if(norm(h, NORM_L2) < e1 && abs(f1-f2) < e2)
      break;
    
  }


  p = input.ptr<double>(0);
  x0 = p[0];
  y0 = p[1];
  z0 = p[2];


}

运行上述代码，得到结果如下，可以看到，LM算法优化得到结果(2000.499998, -155.800001, 10.250005)接近最优解的精度是非常高的。