带电粒子在匀强磁场中的运动（三十）——旋轮线

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今天我们来看带电粒子在匀强磁场中运动的最后一个专题：旋轮线。一般来说，这个知识点不会考的，但是作为我们进一步理解知识认识世界，我觉得是必不可少的。若带电粒子垂直进入匀强磁场，那么它在洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动，若带电粒子与匀强磁场成θ角的方向进入匀强磁场，那么它的受力和运动情况又将如何？

一、基础知识

以电子为例，如图所示，

磁场水平向右，电子以v的速度与磁场成θ角的方向进入匀强磁场，根据运动的独立性，把粒子速度分解成垂直磁场的分速度v⊥和平行磁场的分速度v∥，垂直磁场的分速度会引起带电粒子做匀速圆周运动，而平行磁场的分速度不会受到磁场力的作用，因而做匀速直线运动，实际电子同时参与这两个分运动，这两个分运动的合成就是螺旋运动，其轨迹我们称之为旋轮线或者摆线。 下面我们就利用运动的合成与分解的知识来分析这个运动。如图，和磁场平行的速度分量v∥=vcosθ，和磁场垂直的速度分量v⊥=vsinθ。根据带电粒子在匀强磁场中运动的半径公式和周期公式q，电子在沿磁场投影方向做圆周运动的半径R=mvsinθ/qB，因为电子沿磁场方向做匀速运动，所以每个周期内电子在磁场方向前进的距离相等，若把电子在每个周期内前进的距离定义为螺旋运动的螺距，则该螺旋运动是等螺距运动，且螺距d=vcosθ2πm/qB。

二、几种应用

带电粒子的螺旋运动在现代科技中的运用主要体现在磁聚焦和磁约束。如图所示，

一束发散角不大的带电粒子束，当它们在磁场B的方向上具有大致相同的速度分量时，它们有相同的螺距，这与带电粒子在垂直B方向的速度大小、方向无关，尽管每个粒子的轨迹和半径不尽相同，但它们在距出发点为h、2h、… 等处又会交汇于一点。这种发散粒子束会聚到一点的现象与透镜将光束聚焦现象十分相似，因此叫磁聚焦。这种磁聚焦和我们在圆形磁场中的磁聚焦大家可以做一个对比。

我们进一步考虑，仍以电子为例，若电子以v的速度与磁场成θ角的方向进入一个非匀强磁场，那么电子将做什么运动呢？从上面的分析中，我们知道，电子在匀强磁场中做螺旋线运动，其轨道半径R与磁感强度B成反比，所以，在很强的磁场中，每个带电粒子的轨道半径R很小，它活动便被束缚在一根磁感线附近的很小范围内，只能沿磁感线做纵向运动，在纵向，同样可以利用磁约束对粒子的运动加以限制。理论上可以证明，当带电粒子由较弱的磁场区进入较强的磁场区时（B增加），它的横向动能要按比例增加。然而由于洛伦兹力是不做功的，带电粒子的总动能不变，则纵向动能即纵向速度就要减小，甚至为零。通常将这种由弱到强的磁场位形叫做磁镜。如下左图，两个同向通电线圈产生中间弱两边强的磁场位形，带电粒子在横向受到磁场约束，在纵向则在两线圈中来回反射，从而达到约束的目的。不过，一部分纵向动能较大的粒子仍然有可能从磁镜两端逃出。而采用下右图所示的环形磁约束结构则可避免这种情况。这种结构就是托卡马克装置的基本结构。

地球磁场两极强、中间弱就是一个天然磁瓶，它使得来自宇宙射线的带电粒子在两磁极间来回振荡从而形成范•艾仑辐射带。生活在地球上的人类及其他生物都应十分感谢这个天然的磁镜约束，正是靠它才将来自宇宙空间、能致生物于死命的各种高能射线或粒子捕获住，使人类和其他生物不被伤害，得以安全地生存下来。

例题：如图

半径为R的圆筒形真空管中有两个隔板，其中心有小孔A和A’，相距为L，区域Ⅰ中有电子枪K，区域Ⅱ中有左右方向的匀强磁场，区域Ⅲ中既无磁场也无电场。由电子枪K发出的电子穿过小孔A成发散电子束进入区域Ⅱ，设所有电子穿过小孔A时沿A A’方向的分速度都为v，现调节区域Ⅱ中磁场的磁感应强度B使电子束能穿过A’，（电子的电量为e,质量为m,且设电子碰到管壁均不弹回。）

（1）试描述电子在区域Ⅱ中的运动（要有代表性），并求出B的值

（2）若B取第一问中的最小值，则进入区域Ⅲ的电子中，运动方向与管轴间的最大夹角为多少？

（3）若在区域Ⅱ中的磁场按图乙所示随时间周期性变化，问要使t=0时刻进入Ⅱ区域的电子能从A’孔飞出，T的值取多少？

解析：相信大家有了前面的阐述，对这个问题的理解应该不是什么问题。说白了还是运动的分解及其独立性。电子做沿轴线方向的匀速直线运动和垂直于轴线方向的匀速圆周运动，而题目中的L只能是螺距或者螺距的整数倍。显然整数倍为1的时候，B是最小值。纵向速度最大时夹角最大，此时纵向轨迹圆与圆筒相切。这个应该不难理解。不再赘述。第三问中磁场的半个周期应该是轨迹圆周期的整数倍时，可以磁聚焦射出。理解原理，解答此类问题不难。

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