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设h=△x。y=a^x，y1 = a^(x+h)=a^x*a^h
y1-y = a^x * a^h – a^x = a^x(a^h-1)
两边除以h得y’ = a^x(a^h-1)/h
设 h=1/n ，n->无穷大。则
(a^h-1)/h = (a^(1/n)-1)/(1/n)
设a = k(1+1/n)^n,则
((k(1+1/n)^n)^(1/n)-1)/(1/n)
令k=1，即a=e = (1+1/n)^n则
(1+1/n-1)n = 1
即e^x的导数 = e^x * 1= e^x
二、证明y’ = a^x * ln(a)
设 a=1+b,a^h=(1+b)^h 展开得
A=1+h*b+1/2*h*(h-1)*b^2
+1/(2*3)*h*(h-1)*(h-2)*b^3
+1/(2*3*4)*h*(h-1)*(h-2)*(h-3)*b^4
+1/(2*3*4*5)*h*(h-1)*(h-2)*(h-3)*(h-4)*b^5
。。。
由于h无穷小把h*(h-1)*(h-2)*(h-3)*(h-4)。。。/(2*3*4*5。。。)约掉，
所以(1+b)^h
=1 + h*b – 1/2*h*b^2+ 1/(3)*h*b^3- 1/(4)*h*b^4+1/(5)*h*b^5 。。。
=1 + h*(b – 1/2*b^2+ 1/(3)*b^3- 1/(4)*b^4+1/(5)*b^5。。。)
设k=b – 1/2*b^2+ 1/(3)*b^3- 1/(4)*b^4+1/(5)*b^5。。。
所以a^h =1+ k*h，a^h -1 = k*h，
(a^h -1)/h = k
所以y’ = a^x * k。
所以y=a^x的各阶导数
y’ = a^x * k，y” = a^x * k^2，y”’ = a^x * k^3。。。
令x=0则y’ = k，y” = k^2，y”’ = k^3。。。则
a^x=1+x * k+x^2 * k^2/(1*2)+x^3 * k^3/(1*2*3)。。。
令x=1/k
a^(1/k)=1+1+1/(1*2)+1/(1*2*3)。。。
e = (1+1/n)^n ，设b=1/n，h=n代入展开式A得e=1+1+1/(1*2)+1/(1*2*3)。。。
故a^(1/k)=e，a=e^k
k=ln(a)
a^x的导数是 a^x * ln(a)
三、为什么偏微分方程的通解是指数函数
微分方程dy/dx=y 设y(0)=1。dy/dx=1.
原函数Y=x+1，dy/dx=x+1，原函数Y=1+x+1/2x^2
类推
Y=1+x+1/2x^2+1/(2*3)x^3+1/(2*3*4)x^4。。。
即Y=e^x
四、dy/dx=c*y，Y=e^(c*x)
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