GCN—图网络中卷积的理解

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“ 学习GCN之前，我们都应该先掌握一些基础知识，比如我们的“C”-卷积。”

对于不规则的图，我们想应用卷积操作对其进行特征提取时，第一难点应该是每个节点的出入度不一和节点之间不连续问题。卷积，是我们学习高等数学之后，尤其是对于非图像、非数学领域专业学生接触机器学习以后的一种运算，因为涉及到积分、级数，所以看起来非常的复杂。卷积具有不同的形式，根据现实生活中数据的存在形态和研究的问题，主要分为离散卷积和连续型卷积。

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离散卷积

对于函数 f(x) 和 g(x)，记 (f*g)(x) 为函数 f(x) 和 g(x) 的卷积，它是一个关于x的新函数，如下公式所示：

卷积过程：

如下表所示，f(x) 和 g(x) 在x属于[-5，5]的区间取值以及对应的卷积(f*g)(x)。如果x的取值超出此区间范围，则f(x) 、 g(x) 和 (f*g)(x) 的值均为0。针对具体的x和f(x) 、 g(x) 和 (f*g)(x) 取值问题，已经详细的添加在表格当中。

根据上述公式和表格，我们可以快速的计算得到整个离散卷积的过程。从g(x-t)中，我们可以结合数轴，在整个卷积的过程中，g是在做水平翻转动作，沿着中心轴0翻转。卷积过程类似下图所示，

卷积结果的通俗解释：

f(x) 是待处理的信号或者数据，通常，该函数的数据量比较大。g(x)是对信号前后相关性的描述的函数，通常，该函数非零数据个数比较少（这个给我们打开了加权操作或者稀疏矩阵思路）。一般具有在(-∞，+∞)内可积且快速收敛的特性。对于本例中的函数 g(x) ,卷积结果可以解释为：在x时刻的值受到x-2, x-1, x, x+1, x+2共5个时刻的影响，其加权系数分别是0.01, 0.2, 1, 0.8和0.05。最终可表示为，(f*g)(x)=f(x-2)*0.01+f(x-1)*0.2+…+f(x+2)*0.05。即，其他所有x的取值都是 g(x)=0，那么乘积项 f(t)*g(x-t)=0。因此，在计算(f*g)(x)时可以不计。

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连续型卷积

连续型卷积的计算公式如下所示：

这里选择引用一个经典例子来做解释—做包子。假设早上包子店的生意太好了，已经达到供不应求的状态，店主就买了一台做包子的机器，不断地生产包子。假设生产的速度函数为f(x)，但是由于是夏天，包子可能会随时间的变化发生腐烂，所以我们需要再定一个一个包子的腐烂函数g(x)。

假设某一个时刻生产了100个包子，那么腐败的程度为100*g(x)。根据常识，第一小时生产的包子，一天会经历24小时的腐败；第二小时生产的包子，一天会经历23小时的腐败。如此，我们是数学原理进行推算，一天生产的包子的腐烂情况是：

这就是连续卷积。

卷积的动态过程，这里我们需要习惯地把卷积核想象成一个反转180度的g(x)，

卷积的展开，

另外需要注意的是，加权矩阵（尤其是离散卷积），在我们现实当中可以想像成随机初始化的稀疏矩阵。但是矩阵中的所有权重值可在训练的过程中，根据梯度下降算法进行计算和更新。