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向量的内积
α \alpha α 和 β \beta β 的内积 ( α , β ) (\alpha, \beta) (α,β) 为对应元素相乘再相加。内积是一个数。
向量的长度(范数、模)
∣ ∣ α ∣ ∣ = ( α , α ) ||\alpha||=\sqrt{(\alpha,\alpha)} ∣∣α∣∣=(α,α)
性质
- ∣ ∣ α ∣ ∣ ≥ 0 ||\alpha||\ge0 ∣∣α∣∣≥0
- ∣ ∣ k α ∣ ∣ = ∣ k ∣ ⋅ ∣ ∣ α ∣ ∣ ||k\alpha||=|k|\cdot||\alpha|| ∣∣kα∣∣=∣k∣⋅∣∣α∣∣
- ∣ ( α , β ) ∣ ≤ ∣ ∣ α ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ β ∣ ∣ |(\alpha,\beta)| \le ||\alpha||\cdot||\beta|| ∣(α,β)∣≤∣∣α∣∣⋅∣∣β∣∣
- ∣ ∣ α + β ∣ ∣ ≤ ∣ ∣ α ∣ ∣ + ∣ ∣ β ∣ ∣ ||\alpha+\beta|| \le ||\alpha||+||\beta|| ∣∣α+β∣∣≤∣∣α∣∣+∣∣β∣∣
正交(垂直)
( α , β ) = 0 , α ⊥ β (\alpha, \beta)=0, \alpha\perp\beta (α,β)=0,α⊥β
零向量和任何向量都正交。
正交向量组
不含零向量的正交向量组 α 1 , . . . α n {\alpha_1,…\alpha_n} α1,...αn 中任意两个向量都正交。
标准正交向量组
如果正交向量组中每个向量都是单位向量，则这种向量组为标准正交向量组。
定理
如果 α 1 , . . . α n {\alpha_1,…\alpha_n} α1,...αn 是正交向量组，则 α 1 , . . . α n {\alpha_1,…\alpha_n} α1,...αn 一定是线性无关的。
施密特正交化
给定一组线性无关的 α 1 , . . . , α n {\alpha_1,…,\alpha_n} α1,...,αn，求一组正交的 β 1 , . . . , β n {\beta_1,…,\beta_n} β1,...,βn，使得两个向量组等价。
- 正交化：
- β 1 = α 1 \beta_1=\alpha_1 β1=α1
- β 2 = α 2 − ( α 2 , β 1 ) ( β 1 , β 1 ) β 1 \beta_2=\alpha_2-\frac{(\alpha_2,\beta_1)}{(\beta_1,\beta_1)}\beta_1 β2=α2−(β1,β1)(α2,β1)β1
- β 3 = α 3 − ( α 3 , β 1 ) ( β 1 , β 1 ) β 1 − ( α 3 , β 2 ) ( β 2 , β 2 ) β 2 \beta_3=\alpha_3-\frac{(\alpha_3,\beta_1)}{(\beta_1,\beta_1)}\beta_1-\frac{(\alpha_3,\beta_2)}{(\beta_2,\beta_2)}\beta_2 β3=α3−(β1,β1)(α3,β1)β1−(β2,β2)(α3,β2)β2
- …
- 1 ∣ ∣ β 1 ∣ ∣ β 1 , 1 ∣ ∣ β 2 ∣ ∣ β 2 , . . . , 1 ∣ ∣ β n ∣ ∣ β n \frac{1}{||\beta_1||}\beta_1, \frac{1}{||\beta_2||}\beta_2,…,\frac{1}{||\beta_n||}\beta_n ∣∣β1∣∣1β1,∣∣β2∣∣1β2,...,∣∣βn∣∣1βn
α 1 , . . . , α n = 正 交 化 = > β 1 , . . . , β n = 单 位 化 = > η 1 , . . . , η n {\alpha_1,…,\alpha_n}=正交化=>{\beta_1,…,\beta_n}=单位化=>{\eta_1,…,\eta_n} α1,...,αn=正交化=>β1,...,βn=单位化=>η1,...,ηn
正交矩阵
假设 A A A 为 n n n 阶方阵，如果 A T A = E A^TA=E ATA=E，那么A为正交矩阵。
性质
- 如果 A A A 为正交矩阵，则 ∣ A ∣ = 1 o r − 1 |A|=1 or-1 ∣A∣=1or−1 。
- 如果 A A A 为正交矩阵，则 A − 1 = A T A^{-1}=A^{T} A−1=AT，且 A − 1 A^{-1} A−1 和 A T A^{T} AT 均为正交矩阵。
- 若 A A A， B B B 都是 n n n 阶正交矩阵，那么 A B AB AB 也正交。
- 若 A A A 是 n n n 阶正交矩阵， α \alpha α 和 β \beta β 为n维列向量，那么 ( A α , A β ) = ( α , β ) (A\alpha,A\beta)=(\alpha, \beta) (Aα,Aβ)=(α,β)。 ( A α , A β ) = ( A α ) T A β = α T A T A β = ( α , β ) (A\alpha,A\beta)=(A\alpha)^TA\beta=\alpha^TA^TA\beta=(\alpha, \beta) (Aα,Aβ)=(Aα)TAβ=αTATAβ=(α,β)。
定理
A A A 为正交矩阵的充要条件是 A A A 的列(行)向量组是标准正交向量组。
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