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三向量的混合积

我们定义空间上三个向量 a，b，c ，先作 a 和 b 的向量积，用所得向量再与 c 作数量积，所得结果称为三向量的混合积，记作 $(\mathbf{a}\times \mathbf{b})\cdot \mathbf{c}$ 或者 $(\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c})$ 或者 $(\mathbf{a}\mathbf{b}\mathbf{c})$

• 设以a，b，c 为棱的平行六边体的体积为 $V$ ，则 $|(\mathbf{a}\mathbf{b}\mathbf{c})|=V$，并且 $(\mathbf{a}\mathbf{b}\mathbf{c})=\epsilon V$，当 a，b，c 构成右手系时 $\epsilon =1$，当 a，b，c 构成左手系时 $\epsilon =-1$

• 三向量a，b，c 共面的充分必要条件是 $(\mathbf{a}\mathbf{b}\mathbf{c})=0$

• 轮换混合积的三个因子，不改变它的值，对调任何两个因子要改变乘积符号
  $$(\mathbf{a}\mathbf{b}\mathbf{c})=(\mathbf{b}\mathbf{c}\mathbf{a})=(\mathbf{c}\mathbf{a}\mathbf{b})=-(\mathbf{a}\mathbf{c}\mathbf{b})=-(\mathbf{c}\mathbf{b}\mathbf{a})=-(\mathbf{b}\mathbf{a}\mathbf{c})$$

  轮换因子不会将右手系变为左手系，也不会将左手系变为右手系，
  对调因子会改变。

  由此可以推出
  $(\mathbf{a}\times \mathbf{b})\cdot \mathbf{c}=\mathbf{a}\cdot (\mathbf{b}\times \mathbf{c})$

• 如果 $\mathbf{a}=X_1\mathbf{i}+Y_1\mathbf{j}+Z_1\mathbf{k},\mathbf{b}=X_2\mathbf{i}+Y_2\mathbf{j}+Z_2\mathbf{k},\mathbf{c}=X_3\mathbf{i}+Y_3\mathbf{j}+Z_3\mathbf{k}$，那么
  $$(\mathbf{a}\mathbf{b}\mathbf{c})=\left|\begin{array}{ccc}{X}_1& Y_1& Z_1\\ X_2& Y_2& Z_2\\ X_3& Y_3& Z_3\end{array}\right|$$

三向量的双重向量积

给定空间三向量，先作其中两个向量的向量积，用所得向量与第三个向量再作向量积，所得向量称为所给向量的双重向量积

• $(\mathbf{a}\times \mathbf{b})\times \mathbf{c}=(\mathbf{a}\cdot \mathbf{c})\mathbf{b}-(\mathbf{b}\cdot \mathbf{c})\mathbf{a}$

  ​ 证明： 若 a，b，c 中有一个为零向量，或 a，b 共线，或 c 与 a，b 都垂直，两边全为零，显然成立。

  反之，我们先设 $\mathbf{c}=\mathbf{a}$，$(\mathbf{a}\times \mathbf{b})\times \mathbf{a}=({\mathbf{a}}^2)\mathbf{b}-(\mathbf{b}\cdot \mathbf{a})\mathbf{a}$可以设
  $$(\mathbf{a}\times \mathbf{b})\times \mathbf{a}=\lambda \mathbf{a}+\mu \mathbf{b}$$
  先后与 a，b 作数量积得
  $$\begin{array}{rl}\lambda ({\mathbf{a}}^2)+\mu (\mathbf{a}\cdot \mathbf{b})& =0\\ \lambda (\mathbf{a}\cdot \mathbf{b})+\mu ({\mathbf{b}}^2)& =(\mathbf{a}\times \mathbf{b}{)}^2\end{array}$$

  利用 $(\mathbf{a}\times \mathbf{b}{)}^2+(\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}{)}^2={\mathbf{a}}^2{\mathbf{b}}^2$，可以解出 $\lambda =-\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}，\mu ={\mathbf{a}}^2$ ，代入即可证明成立。

  对于任意向量 c，我们可以设
  $$\mathbf{c}=\alpha \mathbf{a}+\beta \mathbf{b}+\gamma (\mathbf{a}\times \mathbf{b})$$
  得出
  $$\begin{array}{rl}(\mathbf{a}\times \mathbf{b})\times \mathbf{c}& =(\mathbf{a}\times \mathbf{b})\times (\alpha \mathbf{a}+\beta \mathbf{b}+\gamma (\mathbf{a}\times \mathbf{b}))\\ & =\alpha (\mathbf{a}\times \mathbf{b})\times \mathbf{a}-\beta (\mathbf{b}\times \mathbf{a})\times \mathbf{b}\\ & =\alpha [({\mathbf{a}}^2)\mathbf{b}-(\mathbf{b}\cdot \mathbf{a})\mathbf{a}]-\beta \left[({\mathbf{b}}^2)\mathbf{a}-(\mathbf{a}\cdot \mathbf{b})\mathbf{a}\right]\\ & =\left[\alpha ({\mathbf{a}}^2)+\beta (\mathbf{a}\cdot \mathbf{b})\right]\mathbf{a}-\left[\alpha (\mathbf{a}\cdot \mathbf{b})+\beta ({\mathbf{b}}^2)\right]\mathbf{b}\\ & =[\mathbf{a}(\alpha \mathbf{a}+\beta \mathbf{b}+\gamma (\mathbf{a}\times \mathbf{b}))]\mathbf{b}-[\mathbf{b}(\alpha \mathbf{a}+\beta \mathbf{b}+\gamma (\mathbf{a}\times \mathbf{b}))]\mathbf{a}\\ & =(\mathbf{a}\cdot \mathbf{c})\mathbf{b}-(\mathbf{b}\cdot \mathbf{c})\mathbf{a}\end{array}$$

• 拉格朗日(Lagrange)恒等式
  $$(\mathbf{a}\times \mathbf{b})\cdot ({\mathbf{a}}^{\prime }\times {\mathbf{b}}^{\prime })=\left|\begin{array}{cc}\mathbf{a}\cdot {\mathbf{a}}^{\prime }& \mathbf{a}\cdot {\mathbf{b}}^{\prime }\\ \mathbf{b}\cdot {\mathbf{a}}^{\prime }& \mathbf{b}\cdot {\mathbf{b}}^{\prime }\end{array}\right|$$

• 雅可比(Jacobi)恒等式
  $$(\mathbf{a}\times \mathbf{b})\times \mathbf{c}+(\mathbf{b}\times \mathbf{c})\times \mathbf{a}+(\mathbf{c}\times \mathbf{a})\times \mathbf{b}=0$$