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解题关键
我们常见的双曲线的函数表达式为：
x 2 a 2 − y 2 b 2 = 1 \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 a2x2−b2y2=1
等轴双曲线 a = b a=b a=b，所以函数表达式可以改成：
x 2 − y 2 = a 2 (1) x^2-y^2=a^2\tag{1} x2−y2=a2(1)
在上式的基础上，坐标系逆时针旋转45°，就可以得到形如这样的函数表达式
x y = m 2 (2) xy=m^2\tag{2} xy=m2(2)
注意，（1） 和 （2） 都是等轴双曲线的函数表达式，只是形式不一样而已。
题目
设P,Q,R是等轴双曲线上的任意三点,求证,三角形 PQR 的垂心 H 必在同一等轴双曲线上.
参考答案
设双曲线为 x y = m 2 xy=m^2 xy=m2
设 p ( a , m 2 a ) , Q ( b , m 2 b ) , R ( c , m 2 c ) , H ( x , y ) p(a,\frac{m^2}{a}),Q(b,\frac{m^2}{b}),R(c,\frac{m^2}{c}),H(x,y) p(a,am2),Q(b,bm2),R(c,cm2),H(x,y)
因为 H 是垂心，所以 PH⊥QR，QH⊥PR
于是
{ y − m 2 a x − a ⋅ m 2 c − m 2 b c − b = − 1 y − m 2 b x − b ⋅ m 2 c − m 2 a c − a = − 1 \left\{ \begin{aligned} \frac{y-\frac{m^2}{a}}{x-a}\cdot\frac{\frac{m^2}{c}-\frac{m^2}{b}}{c-b}=-1\\ \frac{y-\frac{m^2}{b}}{x-b}\cdot\frac{\frac{m^2}{c}-\frac{m^2}{a}}{c-a}=-1 \end{aligned}\right. ⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧x−ay−am2⋅c−bcm2−bm2=−1x−by−bm2⋅c−acm2−am2=−1
解得：
x = − m 4 a b c , y = − a b c m 2 x=-\frac{m^4}{abc},\,y=-\frac{abc}{m^2} x=−abcm4,y=−m2abc
因为 x y = m 2 xy=m^2 xy=m2
所以 H 也在双曲线上。
注： 上面那个方程组看似复杂，其实还挺好解的。提示一下：
m 2 c − m 2 b c − b = m 2 ⋅ b − c b c ( c − b ) = − m 2 b c \frac{\frac{m^2}{c}-\frac{m^2}{b}}{c-b}=m^2\cdot\frac{b-c}{bc(c-b)}=-\frac{m^2}{bc} c−bcm2−bm2=m2⋅bc(c−b)b−c=−bcm2
题目背后的故事
几周前我们解析几何老师留了这个题目，我就一直在想怎么解。其实感觉很简单，就是把设 PQR 的坐标，然后把 H 的坐标算出来，然后验证一下 H 在双曲线上。然而这个 H 的坐标是真的难算，无语。今天问了同学，才知道答案上是把双曲线方程设成了 x y = m 2 xy=m^2 xy=m2 。大无语了。利用这个方程，果然很简单就算出来了。
参考资料
x 2 − y 2 = 1 x^2-y^2=1 x2−y2=1 的图像
x y = 1 / 2 xy=1/2 xy=1/2 的图像（由 x 2 + y 2 = 1 x^2+y^2=1 x2+y2=1 逆时针旋转45°得到）
2021年10月29日16:42:49
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