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矩阵量 -行列式 秩

从这节开始，按照数理统计里的统计量，我们也定义一个矩阵量的东西来衡量一个矩阵或者一个空间变换的特征，也就是一个**“度量”这种度量显然是不充分完备**的，因为只有一个数嘛，就如同期望 方差 几阶矩一样不能完全表征原数据，因为原数据或者原矩阵就包含了最大的信息。但是也能表征一定的信息

行列式 是什么？

行列式的运算定义比较复杂，很难直观理解，一般这种定义来源于以下几种方式：

1. 排列和逆序数方式的定义
2. 基于求线性方程组的【克拉默法则】定义（我的教材就是源此）
3. 基于空间几何变换，理解为空间变换的度量。具体狭义一点的理解就是比如普遍的理解为维度体积变化了多少，空间的scaler，英文是determine的意思，类似于伸缩因子，相当于矩阵的绝对值
   第三种认识就是我想说的行列式是什么？它的意义？的比较直观的答案。
   参考一篇高票回答：https://www.zhihu.com/topic/19900291/top-answers
   对行列式就是空间变换的测度，我详细认识讨论一下：

行列式与几何空间

前面讨论矩阵变换就是空间线性变换，那么这种变换必然有个大小的测度，我们就用行列式表示这种变化的多少，放缩的大小，比如行列式表示二维图形的面积，三维图形的体积。比如多元函数积分里我们要乘以一个jaccob矩阵的行列式就表示这种微小的体积变化了多少
$$S=\det ,V=$$
如此|AB|=|A||B|就非常自然，放缩是线性可乘的。如此诸如行列的某一行或列乘以一常数k其行列式也为乘以k,
* 行列式为零
如上，表示着空间测度为0！也就是一个低维的几何体变换在高维里的体积测度为0比如二维图形有面积，变换到三维里他的对应测度体积就为0.这是因为矩阵本身不是满秩的，线性相关，他维度小于其行数或者说列数，他的特征向量张成的空间实际上是一个低维的空间，这种矩阵变换就是把高维的投射到低维去因此测度行列式为0.显然这也表示无法复原（无法逆变换）

• 行列式的正负
  这表示旋转变换是对称还是反对称，手性非手性的意思，比如我们常见的都是右旋坐标系，那么左旋坐标系就显然为负号，这里你可以理解一下【向量×乘】负号变化法则。简单点二维矩形为正，翻面之后他的行列式为负号，但是绝对值不变就是面积不变。
  那么交换两行 行列式变号就相当于交换几何体的两条边，对应着空间几何的反对称左旋变换。也是比较容易理解。
• 行列式为什么针对方阵
  由上可知，矩阵只有方阵才可是一种对等的空间变换和映射，就是原有多少维度变换到多少维度的空间。其他的要么行数大于列数要么行数小于列数，显然这种矩阵的变换都不完备对等，要么是高维到低维要么是低维“假”映射到高维都是不可逆的，没有讨论的意义或者所无法度量，可以姑且理解为行列式为0.

行列式与线性方程

我们都知道克拉默法则求解线性方程组：
$$x_i=\frac{\left|\begin{array}{cc}\begin{array}{c}\overrightarrow{a_{<i}}\mid \end{array}\begin{array}{c}\overrightarrow{b_i}\end{array}& \begin{array}{cc}\overrightarrow{a_j};& \overrightarrow{a_n}\end{array}\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{c}\overrightarrow{a_1};\overrightarrow{a_j};\dots \overrightarrow{a_n}\end{array}\right|}$$
可以看到从集合上来看，Ax=b意味着空间变换，x的每一分量意味着在A每一行的向量方向上变化了多少。这种变化就是我们所说的测度，因此我们需要用变换后的b向量替对应分向量组成变化后的测度几何体，这个变化后的几何体的空间量（行列式）除以空间变化的总体量（detA）就表示，在对应分量上变化了多少，也就是xi

行列式与信息统计

我们知道行列式等于特征值的乘积，特征值在协方差矩阵里表征这沿着特征基方向的信息量的多少。所以这里行列式也表示总体数据信息量的大概

行列式与物理运动

接着之前的矩阵观点，行列式为特征值的的乘积，所以表征物理运动速度的大概测度

秩是什么

行列式表征了空间的测度，显然空间变换的测度不唯一，比如秩他也是一种空间测度。有了上面的基础我们很容易理解秩是什么，秩是矩阵代表的空间变换的限度，也就是空间最大多少维度，能变换到多少维度。显然这可以不仅仅针对方阵，因为m*n的矩阵左乘表示映射到m维空间，右乘或者是转置后左乘表示映射到n维空间，这个维度是不一样的，所以【行秩】 【列秩】的概念也就很自然了。
那么下面这些不同的描述也是很自然了，秩作为与行列式相似的空间矩阵测度有这么写特点和理解：

• 秩与行列式属性同质，一样也表示空间变换的限度。运动变换的范围（也就是多少维度），也表示数据统计矩阵所包含的无关的最有价值的信息的多少，方程解是否唯一等等，但是它包含的测度信息弱于小于行列式所包含的。
• 秩表示矩阵线性无关的特征向量的多少，也就是特征值非0的个数，线性无关讲究行向量还是列向量的无关，所以有【行秩】【列秩】之分；