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递归与分治策略

递归与分治策略是五大常见算法策略之一，分治策略的思想就是分而治之，即先将一个规模较大的大问题分解成若干个规模较小的小问题，再对这些小问题进行解决，得到的解，在将其组合起来得到最终的解。而分治与递归很多情况下都是一起结合使用的，能发挥出奇效（1+1>2），这篇文章我们将先从递归说起，再逐渐向分治过渡，主要讲解方式是通过9个例题来说明问题的，问题都是根据难度由简到难，由浅入深，对递归与分治能有个大概的了解雏形，当然最重要还是要做大量练习才能掌握。

0、递归
  0.0、Fibonacci数列(易)
  0.1、阶乘(易)
  0.2、小青蛙跳台阶(易)
  0.3、全排列问题(偏难)
  0.4、整数划分(偏难)
1、分治策略
  1.0、归并排序(一般)
  1.1、二分查找(易)
  1.2、棋盘覆盖(偏难)
  1.3、日程表问题(偏难)

递归

我们第一次接触递归一般都是在初学C语言时候的一道题目——Fibonacci数列中看到的，可能刚开始感觉有点不可思议，函数居然可以调用自己！Amazing！但事实如此，它确实存在，而递归也为我们某些算法的设计提供很大的便利，一般来说递归函数在理解起来并不是很难，甚至可以通过数学归纳法给予证明，但一直让人诟病的一点莫过于Debug的时候了，有时候调试一个较为复杂的递归函数能把人逼疯。

我们在这里将会由易到难，用一些例题先来讲解递归函数。采用Fibonacci数列来做这个引例来介绍递归函数。

Fibonacci

  第一个数是1，第二个数也是1，从第三个数开始，后面每个数都等于前两个数之和。要求：输入一个n，输出第n个斐波那契数。
我们先来整理一下思路，分下面三步来看：

• 1、明确函数的输入和输出(即函数的作用)
• 2、明确递归终止条件
• 3、寻找函数的递归关系式

第一步，函数输入n，输出(也就是返回)第n个斐波那契数：

public static int fibonacci(int n){
        
}

第二步，明确递归终止条件：

public static int fibonacci(int n){
    if(n == 1) return 1;
    else if (n == 2) return 1;
}

第三步，寻找函数的递归关系：

public static int fibonacci(int n){
    if(n == 1) return 1;
    else if(n == 2) return 1;
    else return fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2);
}

就这样，我们的一个斐波那契数列的递归函数就写完了。当然，这只是我们的一个开胃小菜，下面继续是入门级别的一个题，算阶乘。

阶乘

输入一个数，输出它的阶乘。我们同样用那三步往下走。
第一步，函数输入n，返回n的阶乘

public static int factorial(int n){     

}

第二步，明确递归终止条件：

public static int factorial(int n){                     //0的阶乘等于1
        if(n == 0)  return 1;
}

第三步，寻找函数的递归关系

public static int factorial(int n){                     //0的阶乘等于1
        if(n == 0)  return 1;
        else return factorial(n - 1) * n;
}

做完前两个你肯定会觉得这不是很简单吗，不要急，我们要由易到难，由浅入深，这样阶梯式的科学学习。下面这个例子是小青蛙跳台阶问题，这个问题被用于递归和动态规划类问题的例题，我们这里先用递归解答，后面还会用动态规划策略来解决这个问题。

小青蛙跳台阶

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级，求该青蛙跳上一个n级的台阶共有多少种跳法。
还是三步走，第一步，明确函数的输入及返回

public static int Jump_Floor1(int n){
    
}

第二步，明确递归终止条件
如果n=1，那小青蛙只能一次跳上第一节台阶，所以一种跳法，如果n=2，那小青蛙可以一次跳一节跳两次，或者直接一次跳两节，所以两种跳法。

public static int Jump_Floor1(int n){
        if(n <= 2){
            return n;
        }
}

第三步，寻找函数的递归条件
这里可不能简单的return Jump_Floor1(n-1)就完事儿了，分了两种情况：1、第一次跳1级就还有n-1级要跳，2、第一次跳2级就还有n-2级要跳

public static int Jump_Floor1(int n){
    if(n <= 2){
        return n;
    }else{  //这里涉及到两种跳法，1、第一次跳1级就还有n-1级要跳，2、第一次跳2级就还有n-2级要跳
    return Jump_Floor1(n-1)+Jump_Floor1(n-2);
    }
}

下面这个例题是排列问题，就是求出一组数的全排列。

全排列问题

我们在全排列问题种需要用到一个交换函数swap用于交换两个数的位置，作如下定义：k数组种元素为待排列元素，k和m为待交换两元素的下标

private static void swap(int a[], int k, int m){       //交换k和m下标的元素的值
        int temp = a[k];
        a[k] = a[m];
        a[m] = temp;
}

接下来继续回到递归函数
第一步，明确函数的输入以及返回，这里我们需要输入待排列元素组成的数组，数组的第一个元素的下标，以及最后一个元素的下标

public static void perm(int a[], int k, int m){

}

第二步，明确递归终止条件,就是当只剩下一个元素时

public static void perm(int a[], int k, int m){
    if(k == m) {     //只有一个元素
        for (int i = 0; i <= m; i++) {
            System.out.print(a[i]+" ");
        }
        System.out.println();
    }
}

第三步，寻找递归条件

public static void perm(int a[], int k, int m){
    if(k == m) {     //只有一个元素
        for (int i = 0; i <= m; i++) {
            System.out.print(a[i]+" ");
        }
        System.out.println();
    }else{          //还有多个元素，递归产生排列
        for (int i = k; i <= m; i++) {
            swap(a,k,i);                //排列到这个元素就要将其放在第一个位置
            perm(a,k+1,m);
            swap(a,k,i);                //从此出口出去后还需要将刚刚调换的位置换回来
        }
    }
}

下面是递归这块的最后一个例题了，整数划分问题。

整数划分

说明一下问题，什么是整数划分？

• n=m1+m2+…+mi; （其中mi为正整数，并且1 <= mi <= n），则{m1,m2,…,mi}为n的一个划分。
• 如果{m1,m2,…,mi}中的最大值不超过m，即max(m1,m2,…,mi)<=m，则称它属于n的一个m划分。这里我们记n的m划分的个数为f(n,m);
• 举个例子，当n=5时我们可以获得以下这几种划分（注意，例子中m>=5）
  5 = 5
  = 4 + 1
  = 3 + 2
  = 3 + 1 + 1
  = 2 + 2 + 1
  = 2 + 1 + 1 + 1
  = 1 + 1 + 1 + 1 + 1
  编写程序，输入整数n,m，返回n的所有m的划分个数。

算法思路：我们用q(n,m)表示将n用不大于m的数字划分的方法的个数

• 1、n = 1时：只有一种划分法就是1
• 2、m = 1时：也只有一种划分法就是n个1相加
• 3、n < m时: 划分的方法也就只限于q(n,n)了，毕竟比n大的数也取不到嘛（不能取负数，要不然无限多了）
• 4、n = m时：就是1+(m-1)这一种情况加q(n,m-1)即1+q(n,m-1)。比如q(6,6)就是1+q(6,5)
• 5、n > m时：这种情况下又包含两种情况：
    5(1)、划分中包含m时：即{m, {x1,x2,…xi}}(它们之和为n), 其中{x1,x2,… xi} 的和为n-m，所以就是n-m的m划分，即q(n-m,m)
    5(2)、划分中不包含m时:划分中所有的值都比m小，即q(n,m-1)
• 因此第5中情况的划分为q(n-m,m)+1(n,m-1)
• 对第2中举例子详述：q(5,3):
    (1)包含3: 1+1+3; 2+3; 既然每种情况都包含了3，那去掉3对其余各数相加为(5-3=)2的划分的个数和其相等，那就是对2(m=3)的划分了
    (2)不包含3： 1+1+1+1+1; 1+1+1+2; 1+2+2;

第一步，明确函数输入和返回

public static int equationCount(int n, int m){

}

第二步，明确递归终止条件

public static int equationCount(int n, int m){
        if (n < 1 || m < 1)
            return 0;
        if(n == 1 || m == 1)
            return 1;
}

第三步，寻找递归关系

public static int equationCount(int n, int m){
        if (n < 1 || m < 1)
            return 0;
        if(n == 1 || m == 1)
            return 1;
        if(n < m)
            return equationCount(n,n);
        if(n == m)
            return equationCount(n,m-1)+1;
        return equationCount(n-m,m)+equationCount(n,m-1);   //n > m的情况
}

分治策略

分治策略的基本思想就是将一个规模为n的问题分解成k个规模较小的子问题，这些子问题互相独立且与原问题相同。递归的解这些子问题，然后将子问题的解合并得到原问题的解，和这种说法最贴切的就是我们之前一篇文章介绍的归并排序法了，这篇文章里我们还会再引出一遍。

我们将分治策略解决问题的步骤归纳为：将大问题分解成子问题，分别解决子问题，再将子问题的解合并成大问题的解.
先看第一个典型的例子——归并排序

归并排序

这里我们对归并排序主要注重体现它分治策略的算法逻辑，而不过多深究这个排序算法是如何执行的，具体的图解归并排序请移步我的另一篇博文——数据结构之——八大排序算法。
归并排序的思想是，先将数组分割成为一个个小数组，直到每个小数组中只含有一个元素，那么在这一个小数组里面，这一个元素自然就是有序的，然后将其合并起来(由merge函数实现)，按从小到大的顺序，逐层向上，就是将小问题的解合并为大问题的解。

下面是将大问题分解成小问题的过程

/**
 * 只要数组的大小不为1，就一直分割，直到不能分割为止（即数组长度为1），
 * 不能分割后按照出入栈顺序，会将分割的小数组分别排序后归并起来
 * @param data      待排序数组
 * @param start     起始位置
 * @param end       终止位置
 */
public static void merge_sort(int data[], int start, int end){
    int mid = (start+end)/2;
    if(start < end){
        merge_sort(data,start,mid);
        merge_sort(data,mid+1,end);
        merge(data,start,mid,end);
    }
}

下面是合并小问题的解，归并过程

/**
 * 这个函数是将数组合并在一起的，其实并没有将数组真的分开，只是用start和end指示不同的元素，来达到分割的目的
 * @param  p        指示子数组1的元素
 * @param  q        指示子数组2的元素
 * @param  r        指示合并后数组的元素
 * @param start     start到mid是需要合并的子数组1
 * @param mid
 * @param end       mid+1到end是需要合并的子数组2
 */
private static void merge(int data[], int start, int mid, int end){
    int p = start, q = mid+1, r = 0;
    int newdata[] = new int[end-start+1];
    while(p <= mid && q <= end){
        if(data[p] >= data[q]){                 //从大到小排序
            newdata[r++] = data[p++];
        }else{
            newdata[r++] = data[q++];
        }
    }

    //此时，两个子数组中会有一个中元素还未被全部归并到新数组中，作如下处理
    while(p <= mid){
        newdata[r++] = data[p++];
    }
    while(q <= end){
        newdata[r++] = data[q++];
    }
    //再将有序的数组中的值赋给原数组，其实也可以直接返回这个新数组
    for (int i = start; i <= end; i++) {
        data[i] = newdata[i-start];
    }
}

二分查找

然后是分治策略的另一个经典例子———二分查找，顾名思义，就是在一个有序（从小到大）的数组中查找一个元素的位置，先从最中间将数组变为两个小数组，然后与中间值进行对比，如果相等直接返回，不相等又分两种情况，如果中间元素比待查找值小，就从后半个数组中继续二分查找，反之，从前半个数组中二分查找。

public static int Binary_Search(int []data, int x, int n){   //data为待搜索数组(有序)，x为待搜索元素，n为数组大小
    int left = 0, right = n - 1;            //指示左右的两个指示器
    while(left <= right){                   //left可以等于right，因为有可能刚好两个指示器同时指示到了待查找元素上
        int mid = (left+right)/2;
        if(data[mid] > x)
            right = mid-1;
        else if(data[mid] < x)
            left = mid+1;
        else    return mid;
    }
    return -1;           //表示查找失败
}

棋盘覆盖

下面我们逐渐加大难度，接下来这个问题叫做棋盘覆盖，我们先简单介绍一下这个问题。

在一个2^k × 2^k （k≥0）个方格组成的棋盘中，恰有一个方格与其他方格不同，称该方格为特殊方格。显然，特殊方格在棋盘中可能出现的位置有4^{k种，因而有4}k种不同的棋盘，图4.10(a)所示是k=3时64种棋盘中的一个。棋盘覆盖问题（chess cover problem）要求用图4.10(b)所示的4种不同形状的L型骨牌覆盖给定棋盘上除特殊方格以外的所有方格，且任何2个L型骨牌不得重叠覆盖。

图4.10(a)

图4.10(b)
在这里为了方便讲解，我们采用k=2时候的情况来说明这个问题，设初始情况为

第一次将其分割成四个小块，分成了四个子棋盘，以黄线为分割线

然后分别对其进行填充

填充完后，又可以将其分割

重复上述填充操作，即可对所有方格填充

当k更大的时候的过程可以参考这位大佬的博客棋盘覆盖问题，接下来我们用代码实现。

static int board[][] = new int[4][4];   //棋盘
static int tag = 1;                     //骨牌编号
/**
 * 分治算法典例2———棋盘覆盖问题
 * @date    2019/11/3   afternoon
 * @param tr    棋盘左上角方格的行号
 * @param tc    棋盘左上角方格的列号
 * @param dr    特殊方格所在的行号
 * @param dc    特殊方格所在的列号
 * @param size  棋盘宽度
 * @param s     当前棋盘宽度的一半
 * @param tr+s  当前棋盘中间行的行号
 * @param tc+s  当前棋盘中间列的列号
 */
public static void chess(int tr, int tc, int dr, int dc, int size){
    if(size == 1)
        return;
    int newtag = tag++;
    int s = size / 2;     //分割棋盘

    //覆盖左上角子棋盘
    if(dr < tr+s && dc < tc+s){ //特殊方格在此棋盘中
        chess(tr,tc,dr,dc,s);
    }else{      //此棋盘中无特殊方格
        board[tr+s-1][tc+s-1] = newtag;
        chess(tr,tc,tr+s-1,tc+s-1,s);
    }

    //覆盖右上角子棋盘
    if(dr < tr+s && dc >= tc+s){
        chess(tr,tc+s,dr,dc,s);
    }else{
        board[tr+s-1][tc+s] = newtag;
        chess(tr,tc+s,tr+s-1,tc+s,s);
    }

    //覆盖左下角子棋盘
    if(dr >= tr+s && dc < tc+s){
        chess(tr+s,tc,dr,dc,s);
    }else{
        board[tr+s][tc+s-1] = newtag;
        chess(tr+s,tc,tr+s,tc+s-1,s);
    }

    //覆盖右下角子棋盘
    if(dr >= tr+s && dc >= tc+s){
        chess(tr+s,tc+s,dr,dc,s);
    }else{
        board[tr+s][tc+s] = newtag;
        chess(tr+s,tc+s,tr+s,tc+s,s);
    }
}

接下来的问题依然有一些难度，叫做打印日程表问题。

日程表问题

问题：设有n=2^k个选手参加循环赛，要求设计一个满足以下要求比赛日程表：

1）每个选手必须与其它n-1个选手各赛一次；

2）每个选手一天只能赛一次。

分析，按照上面的要求，可以将比赛表设计成一个n行n-1列的二维表，其中第i行第j列的元素表示和第i个选手在第j天比赛的选手号。

采用分治策略，可将所有参加比赛的选手分成两部分，n=2^k 个选手的比赛日程表就可以通过n=2^（k-1） 个选手的的比赛日程表来决定。递归的执行这样的分割，直到只剩下两个选手，比赛日程表的就可以通过这样的分治策略逐步构建。
说个大白话就是：先默认构造日程表第一行，即0，1，2，3，…然后先分割日程表，将左上角复制到右下角，右上角复制到左下角

初始化第一行不做赘述，让chess[0][i] = i+1即可

下面在Excel中用图示做一演示

代码实现

/**
 * 将比赛日程表设计成n行n列，表中除了第一列，其他n-1列才是我们要的，数组下标行列都从0开始，第i行j列代表第（i+1）位选手在第j天的对手：
 * 表格初始化会将第一行按1到n一次填充，然后递归填充下面的，用左上角和右上角分别去填充右下角和左下角，因为要是对称矩阵（具体原因好好想想）
 * @param p     表示行序号
 * @param q     表示列序号
 * @param t     表示当前传进函数方格的规模也就是大小
 * @param arr   表格
 */
public static void arrange(int p, int q, int t, int arr[][]){
    if(t>=4){           //如果规模大于4，就继续递归
        arrange(p,q,t/2,arr);
        arrange(p,q+t/2,t/2,arr);
    }

    //填左下角
    for(int i=p+t/2;i<p+t;i++){
        for(int j=q;j<q+t/2;j++){
            arr[i][j]=arr[i-t/2][j+t/2];
        }
    }
    //填右下角
    for(int i=p+t/2;i<p+t;i++){
        for(int j=q+t/2;j<q+t;j++){
            arr[i][j]=arr[i-t/2][j-t/2];
        }
    }
}