确界和最值的区别_最小的自然数是0对吗[通俗易懂]

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这两天看了一点初等数论，竟颇有一点“他乡遇故知”的感觉，比如本文要谈的最小自然数原理，在用它证明一些命题的时候，突然想到在实数里也用过类似的方法。这里专门来探究一下二者的联系，探讨“确界”概念的重要意义。

定理1（最小自然数原理） 设\(T\) 是\(\N\) （此处指正整数）的非空子集。那么，必有\(t_0\in T\)，使得任意的\(t\in T\) 有\(t_0\leq t\)，即\(t_0\) 是\(T\) 中的最小自然数。

定理2（最大自然数原理） 设\(M\) 是\(\N\) 的非空子集。若\(M\) 有上界，则必有\(m_0\in M\)，使得任意的\(m\in M\) 有\(m_0\geq m\)，即\(m_0\) 是\(M\) 中的最大自然数。

定理3（Dedekind定理） 对于实数域内的任一分划\((A,A’)\) 必有产生这分划的实数\(\beta\) 存在。这个数\(\beta\)，或是\(A\) 内的最大数，或是\(A’\) 内的最小数。

首先，两者(\(1\Leftrightarrow2\)) 的地位都是相同的，在更严谨的公理出现前，都作为各自数集中的“公理”存在。

其次，二者都在说“确界” 的问题，只不过自然数的确界不涉及无穷，不像实数那样令人费解。至于为什么\(\N,\R\) 的最基本性质都是“确界”，虽然我也说不清楚，但我们可以来看几个以此为基础的证明。

例1 若\(a\) 是合数，则必有不可约数\(p\mid a\)。

证明 由定义知\(a\) 必有除数\(d\geq2\)。设集合\(T\) 由\(a\) 的所有除数\(d\geq2\) 组成。由最小自然数原理知集合\(T\) 中必有最小的自然数，设为\(p\)。\(p\) 一定是不可约数。若\(p\geq2\) 是合数，则存在\(d’\mid p\) 满足\(2\leq d’\leq p\)，故\(d’\in T\)，与\(p\) 的最小性矛盾。

例2 任何单调有界序列都有极限

证明 不妨设序列\(\{a_n\}\) 是单调递增序列，且有上界\(M\)。将实数划分为两个集合\(A,B\)：大于所有\(a_n\) 的实数都放入\(B\)，其余放入\(A\)。显然我们得到了\(\R\) 的一个分划\((A,B)\)，设这个分划的界限是\(\alpha\)，下面证明\(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n = \alpha\)。

若\(\alpha\) 不是序列\({a_n}\) 的极限，则存在$\varepsilon>0,k $ 使得\(\alpha-a_n>\varepsilon\) 即

对任意的\(n>k\) 都成立。又因为\({a_n}\) 是单调递增序列，所以(1)式对所有的\({a_n}\) 成立。于是\(\alpha -\varepsilon<\alpha\) 也是\({a_n}\) 的上界，应该在\(B\) 中，与\(\alpha\) 最小值的地位矛盾，故假设不成立。

稍微总结一下，我们或许可以说，整数中的确界有时作为最小质因数（或最大因数）出现，实数中的确界往往作为极限出现。

最后，如果更一般地看，\(\Z\) 与\(\N\) 相差无几，也可以有“最小整数原理”；但\(\Q\) 便没有类似的确界定理，而这既是构造\(\R\) 的动机，也是构造\(\R\) 的思路。

经过与田孟森学长“旷日持久”的讨论，我还得到了进一步的认识。

考虑确界的定义，我们发现在实数中有一个“任意小”的动态过程，而自然数中是“有限小”（即\(1\)）是个静态的过程。这也刻画了两个数系的特点。

至于“确界”的重要意义，我认为可以这样说：

对于一个一般的数集，我们总需要对它的性质有一个了解，其中一个重要且直观的性质就是“范围”。“界”描述“范围”，而“确界”描述“最精确”（在实数中这里便出现了无穷）的“范围”。无论是自然数集还是实数集，我们对一个数集的性质了解的越细致，我们能做的事情就越多。对于一个数系，如果整个数系都有确界的性质，我们处理它的任何子集自然是多了一个很有力的工具（这里体现为前文的两个例子）。