\(y^n=x\)

(偷自rudin的数学分析原理)

• \(y^n=x\)
  • Theorem:
    • 证明：
      • 1. \(E\) is not empty
      • 2. \(E\) is upper-bounded
      • 3. \(s^n < x\) leads to contradiction
      • 4. \(s^n > x\) leads to contradiction
  • 总结

Theorem:

For every real \(x>0\) and every

integer \(n>0\) there is one and only one positive real \(y\) such that \(y^n=x\)

证明：

这里利用 \(\R\) 的上确界性质来证明。对于 \(x, n\) 构造

我们接下来证明 \(sup~E = y\)

总体思路是：首先证明 \(E\ne\empty\) 且 \(E\) 有上界，于是根据 \(\R\) 存在上确界，可知 \(sup~E\) 存在，为了表述方便，记 \(sup~E=s\)。
然后我们证明 \(s^n=x\)，这里的证明方法是由 \(\R\) 的三歧性，根据假设 \(s^n>x\) 和 \(s^n<x\) 推导出矛盾，于是 \(s^n=x\)，\(s\) 即要求的 \(y\)

1. \(E\) is not empty

只需构造出一个 \(t\in E\)。首先观察 \(E\) 的条件是

1. \(t^n<x\)，当 \(t>1\) 时，\(t^n\) 随 \(n\) 单增，这对构造不利
2. 若 \(n=1\) 则必有 \(t<x\)，因此我们构造出的 \(t\) 至少要满足 \(t<x\)

我们猜想，若能构造出 \(t\) 满足 \(t <1\land t<x\)，那么 \(t\in E\) 将总是成立，而事实上这样的 \(t\) 总是存在：

书上给出了一个很巧妙的构造 \(t = x/(1+x)\)，这个显然是满足的。其实直接写一个:

应该也可以

2. \(E\) is upper-bounded

仍然是构造，只需给出一个 \(\alpha\) 使得 \(\forall t\in E, t \le \alpha\)

我们用此前学过的知识估计一下 \(t\) 的取值范围，以此倒推：\(0 < t < \sqrt[n]{x}\)，因此我们也许只需要找到一个总是大于 \(\sqrt[n]{x}\) 的数。二分一下：

1. 若 \(x\le 1\) 那么 \(\sqrt[n]{x}\le 1\)
2. 若 \(x > 1\) 那么 \(\sqrt[n]{x} <x\)

所以和上面一个我们只需要找到一个 \(\alpha\) 总是满足 \(\alpha > 1 \land \alpha \ge x\)，那么这个 \(\alpha\) 就一定是 \(E\) 的上界

书上给出的构造依旧很巧妙：\(\alpha = x+1\)，我在这里也给出一个更简单粗暴的值：

至此，由确界原理得知 \(sup~E\) 存在。为了表述方便将其记为 \(s\)。
显然 \(s>0\)

3. \(s^n < x\) leads to contradiction

书上给出的反证思路是找到一个 \(h>0\) 使得 \(s+h\in E\)，因为 \(s\) 是 \(E\) 上确界，故而矛盾:

choose \(h\) so that \(0<h<1\) and

so that $$hn(s+1)^{n-1} < x – s^n$$
then we have

hence \((s+h)^n < x\), which means \((s+h) \in E\)

他这个放缩很迷，让我抓不住关键。

4. \(s^n > x\) leads to contradiction

跟上面一样，也是迷之就构造出了一个差值

put

so

so

if \(t\ge s-k\), we conclude that

that \(t^n > x\), it follows that \(s-k\) is an upper-bouned of \(E\), contradict

综上，\(sup~E\) 即为所求的 \(y\) 使 \(y^n = x\)
由于最小上界是唯一的，故得证

总结

好他妈迷啊，怎么会这样

是我不会放缩吗，让我来做肯定放缩不出来

是我看不清他反证法的界限在哪里吗，我找不到啊

…

数学的证明并不能找到确定性的方法，虽然我没去找证明，但大概肯定不可判定吧

要么个人经验，要么灵光一见。我还能干什么呢

绝望