负二项分布的含义_数学二没有概率论吗

负二项分布的含义_数学二没有概率论吗title:【概率论】5-5:负二项分布(TheNegativeBinomialDistribution)categories:-Mathematic-Probabilitykeywords:-TheNegativeBinomialDis…

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title: 【概率论】5-5:负二项分布(The Negative Binomial Distribution)
categories:
– Mathematic
– Probability
keywords:
– The Negative Binomial Distribution
– The Geometric Distribution
toc: true
date: 2018-03-29 08:57:12

负二项分布的含义_数学二没有概率论吗
Abstract: 本文介绍负二项分布,几何分布的基础知识
Keywords: The Negative Binomial Distribution,The Geometric Distribution

开篇废话

到目前为止,所有的分部都是从Bernoulli 分布衍生出来的:

  1. 二项分布,
    n n
    次Bernoulli试验的结果中,每次试验的分布不变,结果为1的次数
    X X
    的分布
  2. 超几何分布,
    n n
    次Bernoulli试验,每次试验分布发生改变,结果为1的次数
    X X
    的分布,当试验分布变化不大的时候和二项分布结果相同
  3. 泊松分布,用来在某种特殊情况下(
    n n
    比较大,
    p p
    比较小,而
    n p np
    又不是很大的情况下)近似二项分布,当n趋近于无穷的时候等同于二项分布。

今天我们还是从二项分布出发,研究这样一个事实,对于Bernoulli过程,我们设定,当某个结果出现固定次数的时候,整个过程的数量,比如我们生产某个零件,假设每个零件的合格与否都是相互独立的,且分布相同,那么当我们生产出了五个不合格零件时,一共生产了多少合格的零件,这个数量就是一个负二项分布。
为什么叫负二项分布而不是正二项分布?
有两种说法,第一我们上面说到的例子,多半是失败到了固定次数时
X X
的分布,另一种是站在分布的系数上来观察的,在下面我们可以看得到。

Definition and Interpretation

废话中给出的生产零件的例子就是引出定义的关键。我们来先看一个定理,描述上面过程的定理:

Theorem Sampling until a Fixed Number of Success.Suppose that an infinite sequence of Bernoulli trails with probability of success
p p
are available.The number
X X
of failures that occur before the
r r
th success has the following p.d.f.

f ( x r , p ) = { ( r + x 1 x ) p r ( 1 p ) x for  x = 0 , 1 , 2 , 0 otherwise f(x|r,p)= \begin{cases} \begin{pmatrix} r+x-1\\ x \end{pmatrix}p^r(1-p)^x&\text{for }x=0,1,2,\dots\\ 0&\text{otherwise} \end{cases}

证明如下
首先我们必须分析一下这个过程,当成功的次数达到目标后停止试验,也就是说最后一次必然是成功的,不然试验不会结束,所以我们需要的是在已经进行了的
x + r 1 x+r-1
次实验中完成
r 1 r-1
次成功,
x x
次失败,那么从计数原理角度,概率为:

P r ( A n ) = ( n 1 r 1 ) p r 1 ( 1 p ) ( n 1 ) ( r 1 ) p = ( n 1 r 1 ) p r ( 1 p ) ( n r ) p \begin{aligned} Pr(A_n)&=\begin{pmatrix}n-1\\r-1\end{pmatrix}p^{r-1}(1-p)^{(n-1)-(r-1)}p\\ &=\begin{pmatrix}n-1\\r-1\end{pmatrix}p^{r}(1-p)^{(n-r)}p \end{aligned}

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