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整理主要的公式定理以及证明，在《陶哲轩实分析》以及Rudin的《数学分析》上的证明太少了。

第三章极限论

3. 单调函数

46. 关于区间套的引理

区间套引理 设有一个套着一个的区间的无穷序列

\[[a_1,b_1],[a_2,b_2],\cdots,[a_n,b_n],\cdots, \]

后面的每一个总包含在前面的一个之内（区间套），并且当\(n\)上升时这些区间的长度趋向于零：

\[\lim_{n\rightarrow \infty}(b_n-a_n)=0. \]

于是区间的端点\(a_n\)和\(b_n\)（从不同的两边）趋向于公共的极限

\[c=\lim_{n\rightarrow \infty}a_n=\lim_{n\rightarrow \infty}b_n \]

5. 收敛原理

51.部分序列

波尔查诺-魏尔斯特拉斯引理 从任何有界的序列中总可以选出收敛于有限的极限的部分序列.

第四章一元连续函数

2. 连续函数的性质

68. 关于函数取零值的定理

波尔查诺-柯西第一定理 设函数\(f(x)\)是在闭区间\([a,b]\)上定义的并且是连续的，又在这区间的两端处取异号的数值，则在\(a\)与\(b\)之间必可求得一点\(c\)，使在这点处函数成为零：\(f(c)=0\quad (a<c<b).\)

第八章多元函数

2. 连续函数

135. 波尔查诺-魏尔斯特拉斯引理

将51段中的引理推广到任意维空间的点序列.
波尔查诺-魏尔斯特拉斯引理 从任一有界的点序列

\[M_1(x_1,y_1),M_2(x_2,y_2),\cdots,M_n(x_n,y_n),\cdots \]

中恒可以取出一极限点的部分序列

\[M_{n_1}(x_{n_1},y_{n_1}),M_{n_2}(x_{n_2},y_{n_2}),\cdots,M_{n_k}(x_{n_k},y_{n_k}),\cdots\\(n_1<n_2<\cdots<n_k<,\cdots ,n_k\rightarrow +\infty) \]

证明应用51段中证得得关于线性序列的引理.

136. 关于函数有界性的定理

魏尔斯特拉斯第一定理 若函数\(f(x,y)\)定义且连续于某个有界闭区域\(\mathscr{D}\)中，则它是有上下界的，就是说，函数值全部必介于两个有限界之间：\(m\leqslant f(x,y)\leqslant M\).
证明：采用反证法，应用135段引理.

魏尔斯特拉斯第二定理 与73段相类似

137. 一致连续性

康托尔定理 若函数\(f(x,y)\)在有界闭区域\(\mathscr{D}\)上连续，则它在\(\mathscr{D}\)上也一致连续.
证明：采用反证法

推论若\(f(x,y)\)在有界闭区域\(\mathscr{D}\)上连续，则对已知的\(\varepsilon>0\)必可找到\(\delta>0\), 使得无论怎样将此区域分为部分区域\(\mathscr{D}_1,\mathscr{D}_2,\cdots,\mathscr{D}_k\), 只要其直径小于\(\delta\)，则在每一部分上，函数的振幅都小于\(\varepsilon\).

第十一章定积分

4.积分的近似计算

本节有189段梯形公式、190段抛物线公式、191段近似公式的余项、192段例。
内容参考知乎回答：辛普森公式的几何意义

第十五章数项级数

2.正项级数的收敛性

237. 级数比较定理

如何证明书上的这个定理？

241. 麦克劳林-柯西积分检验法

麦克劳林-柯西积分检验法 正项级数\(\sum a_n\)在原函数\(F(x)\)的极限\(L\)有限时收敛，在\(L\)无限时发散。（\(f(n)\equiv a_n,f(n)\)连续、正的并且单调下降）

3. 任意级数的收敛性

242. 收敛性原理

级数\((A)\)定义于\(234\)段

\[A=\sum_{n=1}^\infty{a_n} \]

级数的收敛性原理由\(52\)段的序列的收敛原理导出。
收敛性原理 要级数\((A)\)收敛，其必要而充分的条件是要对每个实数\(\varepsilon>0\)都有这样一个序号\(N\)与之对应，使在\(n>N\)时不等式

\[|A_{n+m}-A_n|=|a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots +a_{n+m}|< \varepsilon \]

对一切\(m=1,2,3,\cdots\)恒成立.

243. 绝对收敛性

柯西定理 只要级数\((A)\)各项绝对值所成的级数\((A^*)\)收敛，则级数\((A)\)也收敛.
证明：由绝对值不等式及收敛性原理

\[\left|\sum_{k=n+1}^{n+m}a_k\right|\leqslant \sum_{k=n+1}^{n+m}|a_k|<\varepsilon \]

4. 收敛级数的性质

246. 绝对收敛级数的可交换性

狄利克雷定理 如果级数\((A)\)绝对收敛，则由调动它的各项位置所得到的级数\((A’)\)也收敛并且与原级数有同一总和\(A\). \(\color{red}{（绝对收敛级数具有可交换性.）}\)
证明：略

247. 非绝对（条件）收敛级数的情形

黎曼重排定理 如果级数\((A)\)非绝对收敛，则无论预先取一个怎样的数\(L\)，无论有限或为\(\pm \infty\)，总能将这级数各项调动位置而使变换后的级数有和\(L\).
\(\color{red}{非绝对收敛性的实现只由于正负项的相互抵消，因此主要地取决于各项的先后次序，但绝对收敛性则建立在这些项的下降速度上而与其次序无关.}\)
证明：容易证明级数\((A)\)的正子级数\((B)\)和负子级数\((-C)\)发散.
先证明\(L\)有限的情形，我们将级数\((A)\)的诸项调动如下：我们先按级数中原来的次序抽取充分多个正项，使其和超过\(L\):

\[b_1+b_2+\cdots+b_{k_1}>L \]

在它之后接着（按级数中原来次序）写出充分多负项，使总和变成小于\(L\):

\[b_1+b_2+\cdots-c_1-c_2-\cdots-c_{m_1}<L \]

然后又由剩下的各项里抽取正项写在后面大于\(L\)，抽取充分多负项使得小于\(L\). 如此进行下去，设想其延续无穷；显然级数(A)的每项连同其正负号都将于一定位置出现.
如果每次写出\(b\)或\(c\)时所取项数都恰好能够使所要求的不等式实现为止，则\(L\)正或负的偏差的绝对值不会超过最后所写的一项，根据

\[\lim_{k\rightarrow \infty}b_k=0, \,\lim_{m\rightarrow\infty}c_m=0 \]

可知级数\((b_1+\cdots+b_{k_1})-(c_1+\cdots+c_{m_1})+\cdots+(b_{k_{i-1}}+\cdots+b_{k_i})-(c_{m_{i-1}}+\cdots+c_{m_i})+\cdots\)收敛于和\(L\)，并且去掉括号后仍然正确.
如果\(L=+ \infty\),则可以如此来取各组正数，使逐次的和大于\(1,2,3,\cdots\)，而每次正数之后则只附加一个负项. 同样方式也可以得出一个总和\(-\infty\)的级数.

248. 级数乘法

柯西定理 如果级数\((A)\)与\((B)\)都绝对收敛，则由乘积\(\sum\limits_{i=1}^{\infty}\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_ib_k\)所组成的级数\(a_1b_1+(a_1b_2+a_2b_1)+\cdots+(a_1b_n+\cdots+a_nb_1)+\cdots\)也收敛，并且其和就是该二级数之积\(AB\).
证明：略

第十六章函数序列及函数级数

1. 一致收敛性

263. 导言

序列

\[f_1(x),f_2(x),f_3(x),\cdots,f_n(x),\cdots\tag{16-1} \]

极限

\[f(x)=\lim_{x\rightarrow \infty}f_n(x)\tag{16-2} \]

级数

\[\sum_{n=1}^\infty u_n(x)=u_1(x)+u_2(x)+\cdots+u_n(x)+\cdots\tag{16-3} \]

部分和

\[f_n(x)=u_1(x)+u_2(x)+\cdots+u_n(x)\tag{16-4} \]

264.一致收敛性及非一致收敛性

定义 （函数序列一致收敛）如果
1 ) 序列\((16-1)\)在\(\mathscr{X}\)内有一极限函数\(f(x)\)
2 ) 对每一数\(\varepsilon>0\)都存在这样一个与\(x\)无关的序号\(N\)，使在\(n>N\)时不等式\(|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon\)同时对\(\mathscr{X}\)内的所有\(x\)都成立.
则称序列\((16-1)\)对区域\(\mathscr{X}\)内的\(x\)一致地收敛于函数\(f(x)\).

定义 （函数级数一致收敛） 如果部分和\(f_n(x)\)对区域\(\mathscr{X}\)内的\(x\)一致地趋于级数之和\(f(x)\)（也就是说级数的余弦\(\varphi_n(x)\)一致趋于0），则称级数\(\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n(x)\)在这区域内一致收敛.

\[f_n(x)=\sum_{k=1}^n u_n(x),\,\varphi_n(x)=f(x)-f_n(x) \]

等价定义 一个在区域\(\mathscr{X}\)内所有\(x\)值上都收敛的级数\(\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n(x)\). 如果对每一\(\varepsilon>0\)恒存在这样的一个与\(x\)无关的序号\(N\)，使在\(n>N\)时不等式

\[|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon或|\varphi_n(x)|<\varepsilon \]

对\(\mathscr{X}\)内的所有\(x\)都成立，则称为在此区域内是一致收敛的.

265.一致收敛性条件

函数序列一致收敛性条件（波尔查诺-柯西定理，收敛性原理转化得到） 要序列\((16-1)\)
1 ) 有一极限函数
2 ）对区域\(\mathscr{X}\)内的\(x\)值一致收敛于这个函数，则必须且只需对每一\(\varepsilon>0\)存在这样一个与\(x\)无关的序号\(N\)使在\(n>N\)时并在任何\(m=1,2,3,\cdots\)之下不等式

\[|f_{n+m}-f_{n}(x)|<\varepsilon \]

对\(\mathscr{X}\)内所有\(x\)值都同时成立.

函数级数一致收敛性条件 要级数\((16-3)\)在区域\(\mathscr{X}\)内一致收敛，其必要而充分的条件是要对每一数\(\varepsilon>0\)恒有这样一个与\(x\)无关的序号\(N\)，使在\(n>N\)及任何\(m=1,2,3,\cdots\)之下成立不等式

\[\left|\sum_{k=n+1}^{n+m}u_k(x)\right|=|u_{n+1}(x)+u_{n+2}(x)+\cdots+u_{n+m}(x)|<\varepsilon \]

对\(\mathscr{X}\)内所有\(x\)都同时成立.

魏尔斯特拉斯检验法如果函数级数\((16-3)\)各项在区域\(\mathscr{X}\)内满足不等式

\[|u_n(x)|\leqslant c_n,\, (n=1,2,3,\cdots), \]

而\(c_n\)是某一收敛数级数

\[\sum_{n=1}^\infty c_n=c_1+c_2+\cdots+c_n+\cdots \]

的一般项，则级数\((16-3)\)在\(\mathscr{X}\)内一致收敛.
（此处有个小概念，函数级数被数级数所控制，或者说数级数是函数级数的控制级数）

2. 级数和的函数性质

266. 级数和的连续性

定理1 如果函数\(u_n(x),(n=1,2,3,\cdots)\)在区间\(\mathscr{X}=[a,b]\)内有定义并且连续，而级数

\[\sum_{n=1}^\infty u_n(x)=u_1(x)+u_2(x)+\cdots+u_n(x)+\cdots \]

在\(\mathscr{X}\)内一致收敛于其和\(f(x)\)，则此和在区间\(\mathscr{X}\)内连续.
证明：略

定理1′ 如果函数\(f_1(x),f_2(x),\cdots,f_n(x),\cdots\)在区间\(\mathscr{X}=[a,b]\)内有定义并且连续，且序列在\(\mathscr{X}\)内一致收敛于极限函数\(f(x)\)，则此函数\(f(x)\)也在\(\mathscr{X}\)内连续.
证明：略

267. 正项级数的情形

迪尼定理 设级数各项在区间\(\mathscr{X}=[a,b]\)内连续而且非负，如果该级数有总和\(f(x)\)，且\(f(x)\)也在区间\(\mathscr{X}\)内连续，则该级数在此区间内一致地收敛.
证明：略

迪尼定理’ 设由区间\(\mathscr{X}=[a,b]\)内连续地函数所组成地序列在在\(n\rightarrow \infty\)时，趋于极限函数\(f(x)\)，且单调递增：\(f_{n+1}(x)\geqslant f_n(x)\).如果函数\(f(x)\)在\(\mathscr{X}\)内也连续，则\(f_n(x)\)在\(\mathscr{X}\)内一致地收敛于\(f(x)\).
证明：略

3. 幂级数及多项式级数

魏尔斯特拉斯定理 如果一个函数\(f(x)\)在有限闭区间\([a,b]\)内连续，则存在一个多项式序列\(\{P_n(x)\}\)，它在这区间内一致收敛于\(f(x)\).

第十七章反常积分

1. 带无限积分限的反常积分

\[\Phi(A)=\int_a^Af(x)\text{d}x\tag{17-4} \]

285.正函数情形的积分收敛性

如何证明书上的这个定理？

286. 一般情形的积分收敛性

波尔查诺-柯西定理应用于反常积分收敛性条件 要反常积分\(\int\limits_{0}^{+\infty}f(x)\text{d}x\)收敛，其必要而充分的条件是要对每个数\(\varepsilon>0\)恒有这样一个数\(A_0>a\)与之相应，使在\(A>A_0\)并且\(A’>A\)时成立不等式

\[|\Phi(A’)-\Phi(A)|=\left|\int_a^{A’}f(x)\text{d}x-\int_a^Af(x)\text{d}x\right|=\left|\int_A^{A’}f(x)\text{d}x\right|<\varepsilon \]

287. 更精致的检验法

这里关心的是保证乘积的积分

\[\int_a^{+\infty}f(x)g(x)\text{d}x\tag{17-5} \]

的收敛条件.
检验法1 1 )积分\((17-4)\)是有界函数\(|\Phi(A)|\leqslant K\)（\(K\)为常数，\(a\leqslant A<+\infty\)）；2）\(x\rightarrow +\infty\)时\(g(x)\rightarrow 0\). 于是积分\((17-5)\)收敛.
检验法2 1 ）存在反常积分

\[\int_a^{+\infty}f(x)\text{d}x=\lim_{A\rightarrow +\infty}\Phi(A) \]

2 )函数\(g(x)\)有界：

\[|g(x)|\leqslant L\quad (L是常数；a\leqslant x<+\infty) \]

积分\((17-5)\)也收敛.

292. 反常积分中的变量替换

积分公式 罗切巴夫斯基积分公式

\[\int_0^{+\infty}f(x)\frac{\sin x}{x}\text{d}x=\int_0^{\pi/2}f(x)\text{d}x \]

293. 积分的技巧计算法

[**怎么计算概率积分 ∫0, +∞) (e^(-x²))dx？**

第十八章带参变量的积分

1. 基本理论

295. 一致趋于极限函数

300.例

如何构造这样的二重积分?

307.关于带有有限积分限的积分的一个笺注

[**怎么计算概率积分 ∫0, +∞) (e^(-x²))dx？**

第十九章隐函数·函数行列式

第二十章线积分

第二十一章二重积分

第二十二章曲面积分·面积分

第二十三章三重积分

第二十四章傅里叶级数

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第三章 极限论