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• ECC
• 椭圆曲线
• 椭圆曲线上的阿贝尔群
• 椭圆曲线的参数
  • 有限域\(\mathbb{F}_p\)
  • 子群的基准点\(G\)和子群的阶\(n\)
  • 子群的协因子\(h\)
• 常用椭圆曲线参数
  • secp256k1
  • secp256r1
• ECDSA算法
  • 生成密钥对（genKey）
  • 加密（encrypt）
  • 解密（decrypt）
  • 签名（sign）
  • 验证（verify）
  • 恢复（recover）
  • recoveryID
• 参考资料

ECC

椭圆曲线密码学算法（Elliptic curve cryptography，缩写为ECC），最初由Koblitz和Miller两人于1985年分别独立提出，是一种基于椭圆曲线数学的公开密钥加密算法，其数学基础是利用椭圆曲线上的有理点构成的Abel加法群上椭圆离散对数的计算困难性。

ECC的主要优势是在某些情况下它比其他的方法使用更小的密钥——比如RSA算法——提供相当的或更高等级的安全。

椭圆曲线

椭圆曲线的Weierstrass标准形式：

当判别式不为0，那么椭圆曲线就是非奇异的，即处处可导：

下图是非奇异的椭圆曲线示例。

椭圆曲线上的阿贝尔群

\(\mathbb{G}\)是一个集合，在集合中定义一个对两个元素的操作，记为”加”，用\(+\)表示，集合中两个元素\(a\)和\(b\)，“加”操作表示为\(a+b\)，如果\(a+b\)满足以下5个特性，\(\mathbb{G}\)就是一个阿贝尔群。

• 闭合性（closure）： 若\(a,b\)是\(\mathbb{G}\)中的元素，那么\(a+b\)也是。
• 结合性（associativity）： \((a+b)+c=a+(b+c)\).
• 存在单位元（identity element 0）：有\(a+0=0+a=a\).
• 每个元素都有一个相反数，对每个元素\(a\)都存在\(b\)使\(a+b=0\), \(b\)就是\(a\)的相反数，可以表示为\(−a\).
• 交换律：\(a+b=b+a\).

那么可以得到定义在椭圆曲线上的阿贝尔群。

• 一个椭圆曲线上的点是\(\mathbb{G}\)中的元素。
• 单位元\(0\)定义为无穷远处的点。
• 一个点\(P\)的相反数是关于\(x\)轴对称的点。
• “加”定义为：\(P,Q,R\)是一条直线跟椭圆曲线相交的3个点，那么有\(P+Q+R=0\)，也就是\(P+Q=-R\).

当点\(P\)加上它的相反数\(-P\)时，那么与椭圆曲线相交于无穷远点，也就是\(P+(-P)=0\)：

椭圆曲线的参数

上述内容简单说明了椭圆曲线算法的定义，但如果要将其转换为计算机能处理的离散算法，还需要做一些椭圆曲线参数上的限制。
椭圆曲线算法中的参数如下。

1. 椭圆曲线中的系数\(a,b\).
2. 有限域的大小是个素数\(p\).
3. 子群基准点\(G\).
4. 子群的阶\(n\).
5. 子群的协因子\(h\).

有限域\(\mathbb{F}_p\)

之前的椭圆曲线是在实数域上的，并不适合计算机处理，所以我们必须把椭圆曲线变成离散的点。在ECC算法中选取模\(p\)同余（\(p\)为素数）的点来做“加”法。从而得到离散的有限域\(\mathbb{F}_p\).

子群的基准点\(G\)和子群的阶\(n\)

首先需要定义一个椭圆曲线群的阶\(N\)，表示该群中点的总量。
子群的基准点\(G\)，其实就是椭圆曲线群中的任意一点，选取之后作为基准点。然后对其进行累加（可以转换为标量乘法）。

在有限域中，这样的加法会形成循环，也就是加到某一步\(nG=0\)，这时就得到一个基于基准点\(G\)的子群，这个子群中一共有\(n\)个点。此时\(n\)就是这个子群的阶。

1. 子群的阶就是子群中的元素个数，等价于\(nG=0\)，其\(n\)是正整数，且\(n\)是其中最小的1个，这个\(n\)就是这个子群的阶。
2. 根据拉格朗日定理，子群的阶，是父群阶的一个因子，比如一个椭圆曲线群有\(N\)个元素，它的一个子群有n个元素，n能整除N.

子群的协因子\(h\)

在实际使用中需要子群大一点，也就是\(n\)的值大一点。但是根据基准点来计算\(n\)，一个是范围太大，一个是没有直接公式可以计算子群的阶。所以实际中是先计算椭圆曲线群的阶\(N\)，这个可以利用Schoof’s algorithm算法计算，然后选取\(N\)的一个较大的素因子\(n\)作为子群的阶，令\(h=\frac{N}{n}\)，\(h\)就称做子群的协因子。在椭圆曲线中随机选择点\(P\)，那么有。

因为\(N\)总是任何一个\(n\)的倍数。此时就可以选取\(G=hP\)作为这个子群的基准点了。方便快捷。

常用椭圆曲线参数

椭圆曲线的参数可以有多种配置方式，也就存在多种不同的曲线，例如secp256k1、secp256r1、Curve25519等，不同曲线的安全性存在一些区别，在SafeCurves中有相关对比描述。

secp256k1

secp256k1是高效密码组标准(SECG)协会开发的一套高效的椭圆曲线签名算法标准。在比特币流行之前，secp256k1并未真正使用过。secp256k1命名由几部分组成。

• sec来自SECG标准。
• p表示曲线坐标是素数域。
• 256表示素数是256位长。
• k表示它是Koblitz曲线的变体。
• 1表示它是第一个标准中该类型的曲线。

那为什么比特币要选择secp256k1签名算法而不是其他已流行的算法呢？比特币开发者社区曾讨论过secp256k1是否安全。中本聪没有明确解释，只是说道”有根据的推测”。从社区的讨论中，有推测是其它的曲线，比如secp256r1中的参数是美国国安局精心挑选的，相当于安全性受到权威机构的干涉。总的来说选择secp256k1是安全和性能考量的结果。以太坊沿用了比特币中的数字签名算法。
secp256k1的参数如下。

secp256r1

secp256r1是美国国家安全局建议使用的椭圆曲线，里面的r代表曲线的参数是经过随机选取的。它也被称为NIST P-256。

ECDSA算法

生成密钥对（genKey）

1. 确定子群的阶数\(n\)，基点\(G\).
2. 选择随机数\(d\in [1,n)\)作为私钥，并计算出公钥\(Q=d⋅G\).

这里计算\(d⋅G\)很简单，但是根据公钥\(Q\)和基点\(G\)却很难计算出私钥\(d\).

加密（encrypt）

1. 准备要加密的数据\(M\)，随机数\(r\).
2. 计算密文：\(C_1=M+r⋅Q,C_2=r⋅G\)

解密（decrypt）

1. \(C_1-d⋅C_2=M+r⋅Q-r(d⋅G)=M+r⋅Q-r⋅Q=M\)

签名（sign）

1. 对消息\(m\)使用消息摘要算法，得到\(z=hash(m)\).
2. 生成随机数\(k\in [1,n)\)，计算点\((x, y)=k⋅G\).
3. 取\(r=x\,mod\,n\)，若\(r=0\)则重新选择随机数\(k\).
4. 计算\(s=k^{−1}(z+rd)\,mod\,n\)，若\(s=0\)则重新选择随机数\(k\).
5. 上述\((r,s)\)即为ECDSA签名。

验证（verify）

使用公钥\(Q\)和消息\(m\)，对签名\((r,s)\)进行验证。

1. 验证\(r,s\in [1,n)\).
2. 计算\(z=hash(m)\).
3. 计算\(u_1=zs^{−1}\,mod\,n\)和\(u_2=rs^{−1}\,mod\,n\).
4. 计算\((x, y)=u_1⋅G+u_2⋅Q\,mod\,n\).
5. 判断\(r==x\)，若相等则签名验证成功。

恢复（recover）

已知消息\(m\)和签名\((r,s)\)，恢复计算出公钥\(Q\)。

1. 验证\(r, s\in [1,n)\)
2. 计算\(R=(x,y)\)，其中\(x=r,r+n,r+2n…\)，代入椭圆曲线方程计算获得\(R\).
3. 计算\(z=hash(m)\).
4. 计算\(u_1=−zr^{−1}\,mod\,n\)和\(u_2=sr^{−1}\,mod\,n\).
5. 计算公钥\(Q= (x’,y’)=u_1⋅G+u_2⋅R\)

recoveryID

在计算\(R\)的步骤可以看到，存在多个\(x\)的取值可能性，导致存在多个\(R\)的可能，因此计算得到的\(Q\)也存在多个可能的结果，需要通过和已知的公钥对比，确定哪一个\(Q\)是正确的。如果遍历\(x\)的所有可能都未找到正确的\(Q\)，说明该消息和签名是不对应的，或者是一个未知的公钥。
为了确定正确的\(Q\)，需要遍历\(x\)的所有可能取值，跑多轮recover算法，这个时间开销是比较大的。为了提高recover的时间效率，采用空间换时间的思路，在签名中增加一个\(v\)值，用于快速确定\(x\)，避免遍历查找试探，这个\(v\)值就是recoveryId。
由于\(r=x\,mod\,n\)，因此\(r,r+n,r+2n…\)都可能是合法的原始x值，不同的椭圆曲线存在不同数量这样合法的x值，secp256k1曲线存在两个可能\(r,r+n\)。
每一个X轴坐标对应两个可能的Y坐标，因此secp256k1曲线具备四种可能的\(R，(r,y) (r,-y) (r+n,y’) (r+n,-y’)\)。但是，对于一个\(r\)值存在两个\(X\)轴坐标的概率极低，低到几乎可以忽略，以太坊中就忽略了这两种小概率事件。
由于\(r=x\,mod\,n\)，\(x\)是模\(p\)的结果，\(r\)是模\(n\)的结果，\(x\)值的范围是\([0, p)\)，\(r\)值的范围是\([0, n)\)。如果\(r+n\)也是曲线上的点，则\(r\)的值必须小于\(p-n\)，概率为\((p-n)/p\)，大约为\(3.73\times 10^{-39}\)，这个概率是非常小的。

参考资料

• 博客：ECC算法
• 博客：SM2算法第一篇：ECC加密算法
• 博客：一个数字引发的探索——ECDSA解析
• secp256k1参数：ECC SEC2
• hyperledger/fabric的关键机制——secp256r1