数论四大定理——威尔逊定理

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历史沿革

该定理是以英格兰数学家爱德华·华林的学生约翰·威尔逊命名的，尽管这对师生都未能给出证明。华林于1770年提出该定理，1773年由拉格朗日首次证明。

定理内容

当且仅当p为素数时：

或者用其它的表述方法：

1. 当p为素数时，\((p-1)!+1\)可以被p整除
2. 逆定理：若\((p-1)!+1\)可以被p整除，那么p为素数

背景知识

剩余类与剩余系

1. 剩余类
   定义：一个整数被正整数n除后，余数有n种情形：0，1，2，3，…，n-1，它们彼此对模n不同余。这表明，每个整数恰与这n个整数中某一个对模n同余。这样一来，按模n是否同余对整数集进行分类，可以将整数集分成n个两两不相交的子集。我们把（所有）对模n同余的整数构成的一个集合叫做模n的一个剩余类。
   理解：在模n的情况下，余数会有n种情况，那么对于所有的整数来说，就可以根据模n余数划分出n类，每一类中的数模n的余数都相同，而这些类就是一个个的剩余类。
   性质：模n的剩余类有n个。
2. 剩余系：
   定义：指对于某一个特定的正整数n，一个整数集中的数模n所得的余数域。（这里的余数可以不完全/个数小于n）
3. 完全剩余系：
   如果一个剩余系中包含了这个正整数所有可能的余数（一般地，对于任意正整数n，有n个余数：0,1,2,…,n-1），那么就被称为是模n的一个完全剩余系。
   只要它们的余数不相同，它们可以不是相邻的数。
4. 最小非负剩余系：
   如果模n的剩余系为：0、1、2、……、n-1，那么这个剩余系称为最小非负剩余系。
5. 最小正剩余系：
   将最小非负剩余系中的0换为n，即是最小正剩余系。

缩系（简化剩余系，既约剩余系）

在模n的剩余类中，如果有一个数与n互素，那么该剩余类中的每一个数都与n互素，称该剩余类与n互素。在欧拉定理中（[[数论四大定理——欧拉定理]]），欧拉函数\(\varphi (n)\)就等于小于n的正整数中与n互素元素的个数。而这些元素也组成了一个缩系。或者说：在模n的完全剩余系中，有\(\varphi(n)\)个数与n互素，称这\(\varphi(n)\)个数构成了模n的一个缩系。所以欧拉函数也等于一个缩系中元素的个数。
性质：如果元素：

是模n的一个缩系，那么：

也是模n的一个缩系。

证明

必要性

假设p不是素数，设a是p的（素）因子，易知：

（因为(p-1)!包括从1到p-1之间的所有数，而a是p的素因子，a一定小于p，所以在p-1的阶乘中一定有一个a）
则有：\(a\nmid (p-1)!-1\)
而\(p\mid (p-1)!+1\Rightarrow a\mid (p-1)!-1\)，前后矛盾
所以p一定是质数。

充分性

思路

证明集合 \(\{2,3,\cdots,p-2\}{2,3,⋯,p−2}\)中存在两两配对的元素a , b ,有\(ab\equiv1(mod\ p)\)。即\((p-2)!\equiv1(mod\ p)\)，又\(p-1\equiv-1(mod\ p)\)，所以有\((p-1)!\equiv-1(mod\ p)\)

过程

当\(p=2、3\)时，\((p-1)!\equiv -1(mod\ p)\)显然成立（条件中要求了p应为质数/素数，所以跳过4）
当\(p\geq 5\)时，令

\(\forall a\in M\)，令：

注意到\(\forall t\in S,p\nmid t\)
\(\therefore \forall t_1,t_2\in S,t_1\lt t_2\Rightarrow t_2-t_1\in S\Rightarrow p\nmid (t_2-t_1)\)

证明S中的元素不同余：
若\(t_1,t_2\)同余，那么有\(t_2-t_1\equiv 0(mod\ p)\Rightarrow t_2-t_1=k*p\)，这与前面的结论（\(t_2-t_1\in S\)、\(p\nmid t\)）矛盾，所以\(t_1,t_2\)不矛盾。

\(\therefore S\ mod\ p=N\)
也就是\(\forall a\in M,\exists x\in N\)，一定有\(ax\equiv 1(mod\ p)\)（注释：因为a可以取到M中的所有元素，而a乘小于p的正整数模p总会出现一个1，所以就可以得知M中所有元素都可以取到逆元）
若\(x=1\)，则\(ax\%p=a\%p=a\)
\(\therefore x\ne 1\)
若\(x=p-1\)，则\(ax\%p=(ap-a)\%p=[(a-1)p+p-a]\%p=p-a\)
\(\therefore x\ne p-1\)
若\(x=p-1\)，则\(a^2\equiv 1(mod\ p)\Rightarrow (a+1)(a-1)\equiv 0(mod\ p)\Rightarrow a=1\)或\(a=p-1\)（\(a=(-1\%p)=p-1\)）
\(\therefore x\ne a\)
综上，\(\forall a\in M,\exists x\in M\)，且\(a\ne x\)，有\(ax\equiv 1(mod\ p)\)
所以\((p-1)!\equiv 1\cdot (p-1)\equiv -1(mod\ p)\)

参考：

1. 数论四大定理之威尔逊定理
2. 威尔逊定理 数论
3. 收集整理威尔逊定理的证明