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Young不等式
传统的Young不等式指如下式子：
\[ab \le \frac{1}{p}a^p + \frac{1}{q}b^q,\ \forall a,b \ge 0,\ \frac{1}{p}+\frac{1}{q} = 1 \]
对于泛函分析角度下的Young不等式，有如下定义：
设 \(\phi : E \to (-\infty, +\infty]\) 为满足定义域 \(D(\phi) \ne \empty\) 的函数。定义其共轭函数 $\phi^* : E^* \to (-\infty, +\infty] $ 为
\[\phi^*(f) = \sup_{x \in E}\{ f(x)-\phi(x) \} \]
由上确界定义，自然地有：
\[f(x) \le \phi^*(f)+\phi(x), \ \forall x \in E, f \in E^* \]
为导出传统的Young不等式，我们考虑 \(E=\R, E^* = \R\), 函数之间的作用关系为实数的乘法。定义 \(\phi(t)=\frac{1}{p}|t|^p\).
在 \(1 < p < \infty\) 时求其共轭函数为：
\[\begin{aligned} \phi^*(s) &= \sup_{t\in \R} \{ ts-\frac{1}{p}|t|^p \} \\ & 由初等函数知识得最大值在 |t|^{p-1} = s 处取到 \\ &= (1-\frac{1}{p})|t|^p \\ &= (1-\frac{1}{p})|s|^{\frac{p}{1-p}} \\ &= \frac{1}{q} |s|^q \end{aligned} \]
进一步增加自变量为正的条件后得到传统的Young不等式。
参考资料：Haim Brezis and Haim, Functional analysis, sobolev spaces and partial differential equations, p12, 2015.
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