共轭梯度法

最速下降法

1.最速下降方向

函数f(x)在点x处沿方向d的变化率可用方向导数来表示。对于可微函数，方向导数等于梯度与方向的内积，即：

Df(x;d) = ▽f(x)Td,

因此，求函数f(x)在点x处的下降最快的方向，可归结为求解下列非线性规划：

min ▽f(x)Td

s.t.  ||d|| ≤ 1

当                            d = –▽f(x) / ||▽f(x)||   

时等号成立。因此，在点x处沿上式所定义的方向变化率最小，即负梯度方向为最速下降方向。

2.最速下降算法

最速下降法的迭代公式是

x(k+1) = x(k) + λkd(k) ,

其中d(k)是从x(k)出发的搜索方向，这里取在x(k)处的最速下降方向，即

d = –▽f(x(k)).

λk是从x(k)出发沿方向d(k)进行一维搜索的步长，即λk满足

f(x(k) + λkd(k)) = min f(x(k)+λd(k))   (λ≥0).

计算步骤如下：

(1)给定初点x(1) ∈ Rn，允许误差ε> 0， 置k = 1。

(2)计算搜索方向d = –▽f(x(k))。

(3)若||d(k)|| ≤ ε，则停止计算；否则，从x(k)出发，沿d(k)进行一维搜索，求λk，使

f(x(k) + λkd(k)) = min f(x(k)+λd(k))   (λ≥0).

(4)令x(k+1) = x(k) + λkd(k) ，置k = k + 1，转步骤(2)。

共轭梯度法

1.共轭方向

无约束问题最优化方法的核心问题是选择搜索方向。

以正定二次函数为例，来观察两个方向关于矩阵Ａ共轭的几何意义。

设有二次函数：

f(x) = 1/2 (x – x*)TA(x – x*) ,

其中A是n×n对称正定矩阵，x*是一个定点，函数f(x)的等值面

1/2 (x – x*)TA(x – x*) = c

是以x*为中心的椭球面，由于

▽f(x*) = A(x – x*) = 0，

A正定，因此x*是f(x)的极小点。

设x(1)是在某个等值面上的一点，该等值面在点x(1)处的法向量

▽f(x(1)) = A(x(1) – x*)。

又设d(1)是这个等值面在d(1)处的一个切向量。记作

d(2) = x* – x(1)。

自然，d(1)与▽f(x(1))正交，即d(1)T▽f(x(1)) = 0，因此有

d(1)TAd(2) = 0，

即等值面上一点处的切向量与由这一点指向极小点的向量关于A共轭。

由此可知，极小化式所定义的二次函数，若依次沿着d(1)和d(2)进行一维搜索，则经两次迭代必达到极小点。

1.共轭梯度法

共轭梯度法最初由Hesteness和Stiefel于1952年为求解线性方程组而提出的。后来，人们把这种方法用于求解无约束最优化问题，使之成为一种重要的最优化方法。

Fletcher-Reeves共轭梯度法，简称FR法。

共轭梯度法的基本思想是把共轭性与最速下降方法相结合，利用已知点处的梯度构造一组共轭方向，并沿这组方向进行搜素，求出目标函数的极小点。根据共轭方向基本性质，这种方法具有二次终止性。

对于二次凸函数的共轭梯度法：

min f(x) = 1/2 xTAx + bTx + c,

其中x∈ Rn，A是对称正定矩阵，c是常数。

具体求解方法如下：

首先，任意给定一个初始点x(1)，计算出目标函数f(x)在这点的梯度，若||g1|| = 0，则停止计算；否则，令

d(1) = –▽f(x(1)) = -g1。

沿方向d(1)搜索，得到点x(2)。计算在x(2)处的梯度，若||g2|| ≠ 0，则利用-g2和d(1)构造第2个搜索方向d(2)，在沿d(2)搜索。

一般地，若已知点x(k)和搜索方向d(k)，则从x(k)出发，沿d(k)进行搜索，得到

x(k+1) = x(k) + λkd(k) ,

其中步长λk满足

f(x(k) + λkd(k)) = min f(x(k)+λd(k))。

此时可求出λk的显示表达

计算f(x)在x(k+1)处的梯度。若||gk+1|| = 0，则停止计算；否则，用-gk+1和d(k)构造下一个搜索方向d(k+1)，并使d(k+1)和d(k)关于A共轭。按此设想，令

d(k+1) = -gk+1 + βkd(k)，

上式两端左乘d(k)TA，并令

d(k)TAd(k+1) = –d(k)TAgk+1 + βkd(k)TAd(k) = 0，

由此得到

βk = d(k)TAgk+1 / d(k)TAd(k)。

再从x(k+1)出发，沿方向d(k+1)搜索。

在FR法中，初始搜索方向必须取最速下降方向，这一点决不可忽视。因子βk可以简化为：βk = ||gk+1||2 / ||gk||2。

3.非线性共轭梯度

当目标函数是高于二次的连续函数(即目标函数的梯度存在)时，其对应的解方程是非线性方程，非线性问题的目标函数可能存在局部极值，并且破坏了二次截止性，共轭梯度法需要在两个方面加以改进后，仍然可以用于实际的反演计算，但共轭梯度法不能确保收敛到全局极值。

(1)首先是共轭梯度法不能在n维空间内依靠n步搜索到达极值点，需要重启共轭梯度法，继续迭代，以完成搜索极值点的工作。

(2)在目标函数复杂，在计算时，由于需要局部线性化，需计算Hessian矩阵A，且计算工作量比较大，矩阵A也有可能是病态的。Fletcher和Reeves的方案最为常用，抛弃了矩阵A的计算，具体形式如下：

式中gk-1和gk分别为第k-1和第k次搜索是计算出来的目标函数的梯度。