分圆多项式(cyclotomic polynomial)

分圆多项式(cyclotomic polynomial)最近论文中经常遇到分圆多项式,现在系统的学习一下!##本原单位根之前介绍n次单位根,现在详细学习一下n次本原单位根(n-thprimitiveunitroot)一个复数是n次单位根,当且仅当具有以下性质:\(cos(k2\pi/n)+isin(k2\pi/n)\)由于:\(

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最近论文中经常遇到分圆多项式,现在系统的学习一下!

本原单位根

之前介绍n次单位根,现在详细学习一下n次本原单位根(n-th primitive unit root)

一个复数是n次单位根,当且仅当具有以下性质:

\[cos(k2\pi /n) +isin(k 2\pi /n) \]

由于:

\[cos(k2\pi /n) +isin(k 2\pi /n)=(cos(2\pi /n)+isin(2 \pi /n))^k \]

故若令

\[\zeta=cos(2\pi /n)+isin(2 \pi /n \]

则一个复数是n次单位根。当且仅当它是\(\zeta\)的整数次方,由此可见,所有的n次单位根在乘法下作成一个循环群,其中\(\zeta\)是该循环群的生成元。

当取\(k=0,1,2,3…,n-1\)时,我们可以得到n个n次单位根:

\[1,\zeta^1,\zeta^2,…,\zeta^{n-1} \]

性质:
1、若用平面上的点代表复数,把这n个单位根的点用线连接起来便是单位圆的一个内接正n变形。
2、这n个n次单位根都不同
3、\(\zeta^n=1\)

总结一下:
1、复数域中恰好有n个n次单位根,它们在乘法下作一个n元循环群
2、其中\(\zeta\)是该循环群的一个生成元,这n元循环群的生成元素成为n次本元单位根
3、n元循环群共有\(\varphi(n)\)个生成元素,所有共有\(\varphi(n)\)个n次本原单位根

定义

假设\(\varphi(n)\)个n次本原单位根是\(\zeta_1,\zeta_2,…,\zeta_{\varphi(n)}\)
\(\phi_n(x)=(x-\zeta_1)(x-\zeta_2)…(x-\zeta_{\varphi(n)})\)成为分圆多项式。
1、n=1时,生成元\(cos(2\pi /n)+isin(2 \pi /n)=1\),即\(\varphi(1)=1\),故\(\phi_1(x)=x-1\)

更多的参考下main的举例!

还有一种定义法,后面再学习吧!

举例

分圆多项式(cyclotomic polynomial)

应用

在同态加密中,用到最多的一个性质是:

\[\phi_{2^h}(x)=x^{2{h-1}}+1 \]

,所以对于一个2的幂次\(N=2^k\),所谓的第2N个分圆多项式就是指:

\[\phi_{2N}(X)=X^N+1 \]

参考

1、分圆多项式 cyclotomic polynomial
2、分圆多项式的性质

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