标准正交基

标准正交基概念:在线性代数中,一个内积空间的正交基(orthogonalbasis)是元素两两正交的基。称基中的元素为基向量。假若,一个正交基的基向量的模长都是单位长度1,则称这正交基为标准正交基或"规范正交基"(Orthonormalbasis)。 [1]求法:htt

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概念:

在线性代数中,一个内积空间的正交基(orthogonal basis)是元素两两正交的基。称基中的元素为基向量。假若,一个正交基的基向量的模长都是单位长度1,则称这正交基为标准正交基或”规范正交基”(Orthonormal basis)。 [1] 

 

求法:

https://blog.csdn.net/luixiao1220/article/details/90724055

本文将要介绍的内容很简单,就是如何根据一组非线性相关的向量来计算一组标准正交基。但是与其他文章不同的是,本文将以一种非常直观的思路来,顺理成章的推导出如何计算标准正交基。

首先我们假设有一组非线性相关的基v 1 , v 2 , . . . , v n ∈ V v_1,v_2,…,v_n\in Vv1,v2,...,vnV,我们如何根据v 1 , v 2 , . . . , v n v_1,v_2,…,v_nv1,v2,...,vn来计算V VV空间的一组标准正交基?

  1. v 1 v_1v1看做一个一维空间的基,那么自然计算一个标准基的算法为
    e 1 = v 1 ∣ v 1 ∣ e_1=\frac{v_1}{|v_1|}e1=v1v1

  2. 现在我们已经有一个标准基向量e 1 e_1e1,那么我们新加入v 2 v_2v2,他们会行成一个平面。假设e 1 , e 2 e_1,e_2e1,e2就是这个平面的一组标准正交基,那么v 2 v_2v2一定可以表示为,v 2 = ∣ v 2 ∣ [ c o s ( α ) e 1 + s i n ( α ) e 2 ] v_2=|v_2|[cos(\alpha)e_1+sin(\alpha)e_2]v2=v2[cos(α)e1+sin(α)e2],接下来反求e 2 e_2e2就可以了。
    故而下面的等式成立.这个是可以通过简单的几何画图直观上就可以看出来的。
    v 2 ∣ v 2 ∣ − c o s ( α ) e 1 = s i n ( α ) e 2 , c o s ( α ) = v 2 ⋅ e 1 ∣ v 2 ∣ \frac{v_2}{|v_2|}-cos(\alpha)e_1=sin(\alpha)e_2,cos(\alpha)=\frac{v_2\cdot e_1}{|v_2|}v2v2cos(α)e1=sin(α)e2,cos(α)=v2v2e1
    E 2 = v 2 − ( v 2 ⋅ e 1 ) e 1 ⇒ e 2 = E 2 ∣ E 2 ∣ E_2 = v_2-(v_2\cdot e_1)e_1\Rightarrow e_2 = \frac{E_2}{|E_2|}E2=v2(v2e1)e1e2=E2E2

  3. 同理在e 1 , e 2 e_1,e_2e1,e2所长成的二维空间上,加入新的v 3 v_3v3,可以张成一个三维空间。我们现在假定e 1 , e 2 , e 3 e_1,e_2,e_3e1,e2,e3张成了一个空间。那么现在我们有v 3 ∣ v 3 ∣ = c o s ( α ) e 1 + c o s ( β ) e 2 + c o s ( γ ) e 3 \frac{v_3}{|v_3|}=cos(\alpha)e_1+cos(\beta)e_2+cos(\gamma)e_3v3v3=cos(α)e1+cos(β)e2+cos(γ)e3,
    其中α , β , γ \alpha,\beta,\gammaα,β,γ分别是v 3 v_3v3与三个基向量之间的夹角。
    E 3 = v 3 − ( v 3 ⋅ e 2 ) e 2 − ( v 3 ⋅ e 1 ) e 1 ⇒ e 3 = E 3 ∣ E 3 ∣ E_3=v_3-(v_3\cdot e_2)e_2-(v_3\cdot e_1)e_1\Rightarrow e_3=\frac{E_3}{|E_3|}E3=v3(v3e2)e2(v3e1)e1e3=E3E3

  4. 同理我们可以求出e n e_nen
    E n = v n − ∑ k = 1 n − 1 ( v n ⋅ e k ) e k ⇒ e n = E n ∣ E n ∣ E_n=v_n-\sum_{k=1}^{n-1}(v_n\cdot e_k)e_k\Rightarrow e_n=\frac{E_n}{|E_n|}En=vnk=1n1(vnek)eken=EnEn

来总结一下,也就是每一次假设引入一个标准基向量e k e_kek,和前面求出来的标准基向量e 1 , e 2 , . . . , e k e_1,e_2,…,e_ke1,e2,...,ek来组成一个空间。这一组新的标准正交基可以组合为新加入的v k v_kvk,饭后根据v k v_kvke 1 , e 2 , . . . , e k e_1,e_2,…,e_ke1,e2,...,ek之间的夹角关系求出e k e_kek,因为夹角很好求,是v k ⋅ e j ∣ v k ∣ , j ∈ ( 1 , 2 , . . . , k ) \frac{v_k\cdot e_j}{|v_k|},j\in (1,2,…,k)vkvkej,j(1,2,...,k),所以很好求出e k e_kek,其实这里面只是利用了一个向量加法而已。

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