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辛普森悖论

今天刚开始看<商务与经济统计>，看到辛普森悖论，顿时蛮有趣的，所以打算记录下这个。

书中是给出了这么个例子：

有两个法官勒斯特和肯德尔，他们分别在民事和市政主持审理案件，他们的部分案件被提出上诉。我们通过上诉法庭维持原判的比例高低来区分哪个法官更出色。

首先给出了勒斯特和肯德尔的一组数据：

表格1

从上面的表格不难看出肯德尔比勒斯特更优秀，但是事实真是这样吗，我们再来看下另一张表格：

表格2

表格3

从表2和表3可以看出无论是民事还是市政，勒斯特都大于肯德尔，这与表1的结果完全相悖，这就是”辛普森悖论”。

所谓”辛普森悖论”就是在某个条件下的两组数据，分别讨论时都会满足某种性质，可是一旦合并考虑，却可能导致相反的结论。

那么上述两个结果哪个对呢？当然是第二个，因为民事和市政的权重是不一样的，不能简单的通过相加来求解。

用代数来表示就是a/b+c/d != (a+c)/(b+d).

所以在进行多组的统计时候，要充分考虑多组的权重这个隐含的因素，不能直接相加进行综合。进行统计分析时候，要划分好颗粒度。

下面引用一篇博文来更深入的理解辛普森悖论 《辛普森悖论：诡异的男女比例》：

大学的男女比例问题一直是广大宅男同胞所关心的重大问题，也是高中同学聚会时必然谈起的话题，对于选择大学来说，这也是一项重要指标。

一天，我拿出两个大学（P 大和 T 大）的统计数据开始研究。“物理学院，P 大男女比例大于 T 大；数学科学学院，P 大男女比例又是大于 T 大⋯⋯哇，怎么所有专业 P 大的男女比例都高于 T 大啊⋯⋯那还犹豫什么呢，我肯定报 T 大了！”正当我刚刚心意已定的时候，突然看到了统计数据的最后一行：P 大的总体男女比例低于 T 大！“什么？！有没有搞错？怎么可能 P 大的所有专业男女比例都高于 T 大，但是整体男女比例却低于 T 大了呢？！肯定是哪里算错了吧⋯⋯”于是我拿出计算器狂敲，却发现没有任何一个计算错了的数据。这种情况真的可能发生吗？

统计数据不说谎

多说无益，请看下面编造出来的一份男女比例数据（其中假设两所大学都只有物院和外院两个专业）：

物院的数据：

	男生人数	女生人数	男:女
P大	45	8	5.6:1（大）
T大	101	51	2.0:1

外院的数据：

	男生人数	女生人数	男:女
P大	50	201	0.25:1（大）
T大	9	92	0.10:1

学校整体数据（即上述两个专业人数之和）：

	男生人数	女生人数	男:女
P大	95	209	0.45:1
T大	110	143	0.77:1（大！）

数据可不会是骗人的，不信可以自己动手验算一下，真的出现了这种违背常理的情况！这种现象被称为“辛普森悖论”。虽然这么叫，但其实这不是个真正的悖论，它内部没有包含逻辑上的矛盾，只是有些违背人们的常理罢了。

辛普森悖论的直观认识

可能有些人还是一头雾水，虽然数据是如此没错，可还是不能理解到底发生了什么使得结论如此古怪。让你构造一个类似的数据，恐怕你也很难直接想得出来吧！人们对几何图形的想象能力总是高于对数字和字母的想象，因此为了更直观地表现出辛普森悖论，我们看下面一幅向量图：

图中，黑色的线代表 P 大数据，红色的线代表 T 大的数据。A _p 点的横坐标为 P 大外院女生人数，纵坐标为 P 大外院男生人数；B _p 点的横纵坐标则分别为 P 大总女生人数和总男生人数。A _t 和 B _t 点的意义与之相对应。

设坐标原点为 O，则 OA _p 的斜率表示的就是 P 大外院的男女比例，A _p B _p 表示的是 P 大物院的男女比例，OB _p 表示的则是 P 大总男女比例；T 大的各线段斜率意义与之对应。

如此一来，一切都变得清晰起来了。辛普森悖论反映在这张图上，就成了一个显然的事实：在 P 大的外院、物院两个向量的斜率分别大于 T 大的两个向量的斜率的条件下，总人数向量的斜率当然不一定哪个大呀！根据这个直观的理解，你也可以随意编造能产生辛普森悖论的数据了吧！

知道了辛普森悖论这一事实之后，我们以后对待统计数据就要更加小心了。在数学中，经常会出现这种出乎人们意料的惊人事实，所以还是一定要学好数学啊！