因式分解技巧——十字相乘法

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《因式分解技巧》，单墫著

通常是老师编题，学生解题。其实学生也可以编题。既会编，又会解，那可真是“知己知彼，百战不殆”了。

如果你手头有 \(x+2\) 和 \(x+3\)，把两者相乘可得 \(x^2+5x+6\)。 这时候一道因式分解题就新鲜出炉了：请分解因式 \(x^2+5x+6\)。

现在问题来了，你怎么分解出 \(x+2\) 和 \(x+3\) 呢？数学里经常出现这种情况，正着做一件事很简单，但反过来做就奇难。数论中的大数分解就是最突出的例子。

最朴素的想法，原题是二次，那分解之后只能是两个一次的，即形如 \(x+a\)。我们这题目不妨设分解为 \((x+a)(x+b)\)，展开之后与原式比较，即能知道 \(a, b\) 具体是多少：

这里比较好处理的是 \(ab=6\)，实验一下即能知道 \(a=2, b=3\) 满足题意。

“十字相乘”中的“十字”是什么意思呢？它就是把上面的“待定系数”的过程图示出来：

• 对于 \(x^2-7x+6\)，我们有如下的分解：
  

• 要掌握十字相乘，首先要熟悉整数的因式分解。

再进一步

前面讨论的是首项系数为 \(1\) 的二次三项式，其实一般的二次三项式也能用十字相乘法。

• 分解 \(6x^2-7x+2\). 这时候需要分解的除了常数 \(2\), 还有首项系数 \(6\):
  

二次齐次式

形如 \(ax^2+bxy+cy^2\) 这样的式子就是 \(x\) 和 \(y\) 的二次齐次式。

• 分解因式 \(6x^2-7xy+2y^2\). 这个分解其实和之前的一模一样：
  

• 十字相乘虽然简单，但是要做得快，还得依靠实践。这个问题是可以意会，难于言传的。

系数和为 \(0\)

如果代数式 \(ax^2+bx+c\) 满足 \(a+b+c=0\)，那么 \(ax^2+bx+c=(x-1)(ax-c)\).

这个小技巧在二次函数那里可能会用到：给出二次函数的图象，然后问你 \(a+b+c\) 的符号是什么。这时候你只需要观察 \((1, f(1))\) 的位置即可。

另外，这个结论其实是因式定理的一个推论。