切向量，普通矢量，渐变

首先，说明称切向量垂直梯度曲线，这是梯度方向的法向矢量方向：

设曲线x=x(t)。y=y(t)，z=z(t)是曲面u(x,y,z)=c上的一条曲线（c为常数。u(x,y,z)=c表示等高线），因为该曲线在曲面上，所以x=x(t)，y=y(t)。z=z(t)满足方程u(x,y,z)=c，即u(x(t),y(t),z(t))=c，利用复合函数求导法则，方程两边同一时候对t求导数，得 (ðu/ðx)*x‘(t)+(ðu/ðy)*y‘(t)+(ðu/ðz)*z‘(t)=0，所以向量(x'(t),y'(t),z'(t))【切向方向】与向量(ðu/ðx,ðu/ðy,ðu/ðz)【梯度】垂直。

可是，这里须要注意的这里的法向量方向是对等高线来说的。而非对曲面，曲面法向量须要加入对u求偏导。由于梯度方向是降维的，都是对自变量求导的。

而向量(x'(t),y'(t),z'(t))表示曲线的切向量，向量(ðu/ðx,ðu/ðy,ðu/ðz)表示梯度，所以梯度和切向量垂直。

说道这里。可能还不好理解，用爬山来举例。

爬山是最快的方向就是直观上最陡的方向。我们看着是斜向上的。而爬山时梯度方向是水平的【延伸到高维就不能说水平了】，即把那个斜向上的方向投影到水平面上的方向。也就是等高线的法向量方向了。

总结，讨论梯度与切向量、法向量的关系时。切法向量均是对曲线来说的，而不是整个表面法线。由于较低的梯度比曲线的尺寸的尺寸。这是需要牢记。